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[求助] 關(guān)于有斷點(diǎn)的連續(xù)函數(shù)求期望已有1人參與

E（x）=∫xdF（x）=∫1-F（x）dx
其中x的取值為0到無窮，F(xiàn)（x）為分布函數(shù)

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1樓 2015-03-28 09:32:11

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我想知道，為什么下一個(gè)公式為什么成立？

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2樓2015-03-28 09:33:06

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zaq123321

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小木蟲給我溫暖，給我希望，愛就要愛小木蟲。

3樓2015-03-28 18:44:58

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jabile

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

設(shè)X是非負(fù)隨機(jī)變量，F(xiàn)是分布函數(shù) $EX=\int_0^{\infty} x dF(x)=-\int_0^{\infty} x d(1-F(x))$ ，由分部積分
$=-x(1-F(x))|_0^{\infty}+\int_0^{\infty} 1-F(x)dx$
假設(shè)X的期望存在，則
$\int_x^{\infty} t dF(t)$ 趨向于0，而
$\int_x^{\infty} t dF(t)\geq \int_x^{\infty} x dF(x)=x(1-F(x))$
從而 $x(1-F(x))|_0^{\infty}=0$

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4樓2015-03-28 21:41:44

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3樓: Originally posted by zaq123321 at 2015-03-28 18:44:58
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我在手機(jī)上沒有看到這個(gè)功能

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5樓2015-03-29 07:27:30

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4樓: Originally posted by jabile at 2015-03-28 21:41:44
設(shè)X是非負(fù)隨機(jī)變量，F(xiàn)是分布函數(shù)EX=\int_0^{\infty} x dF(x)=-\int_0^{\infty} x d(1-F(x))，由分部積分
=-x(1-F(x))|_0^{\infty}+\int_0^{\infty} 1-F(x)dx
假設(shè)X的期望存在，則
\int_x^{\infty} t dF(t)趨向于 ...

請(qǐng)問討論極限的那部分是怎么回事？我理解有點(diǎn)困難，謝謝

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6樓2015-03-29 07:38:51

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倒數(shù)第二行是怎么推到出來的？

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7樓2015-03-29 08:58:34

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7樓: Originally posted by 蓉菲77 at 2015-03-29 08:58:34
倒數(shù)第二行是怎么推到出來的？
...

t從 x 到無窮積分，所以t大于等于x，直接代入就行
后面一個(gè)等式，關(guān)于t積分，x是常數(shù)，提到積分外面

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8樓2015-03-29 11:45:26

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8樓: Originally posted by jabile at 2015-03-29 11:45:26
t從 x 到無窮積分，所以t大于等于x，直接代入就行
后面一個(gè)等式，關(guān)于t積分，x是常數(shù)，提到積分外面...

所以第一個(gè)不等式只用替換x，F(xiàn)（t）保持不變，對(duì)吧？

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9樓2015-03-29 15:00:23

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我太佩服你了！

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10樓2015-03-29 15:02:18

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