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hank612

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[求助] 一道平面幾何題已有2人參與

希望看到一個簡潔明快的證明（已知這個證明是存在的）

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1樓 2015-07-19 14:06:46

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feixiaolin: 回帖置頂 2015-07-27 08:34:57

引用回帖:

4樓: Originally posted by hank612 at 2015-07-20 02:55:12
feixiaolin

我們都經(jīng)歷過無數(shù)的考試，知道一張卷子里有送分題，給大家一些基礎(chǔ)分?jǐn)?shù)；還有一些大題，用來拉開分?jǐn)?shù)差距的。

這道平面幾何題，只要倒騰角度就可以了，在奧數(shù)這個水平上，勉強(qiáng)算送分題吧。我把 ...

我們先準(zhǔn)備一個引理。過A點作垂線 $AP\prep BC$ ，則 $\angle B - \angle C = \angle{OAP.}$
證明是顯然的，做C點關(guān)于直線AO的對稱點C'，那么 $\angle{B} - \angle{C}= \angle{BCC^{\prime}}$ . 由于 $AP \perp BC, AO \perp C^{\prime}C$ , 自然有AP旋轉(zhuǎn)到AO的角度等于CB旋轉(zhuǎn)到 $CC^{\prime}$ 的角度。

現(xiàn)在開始正餐。就是比較角度啦。
由于DBFK四點共圓，有 $\angle{B}=\angle{DFK}$
另外，由一些等腰三角形，知道 $\angle{AFD}=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\angle{FAD}$ , $\angle{DAP}=\angle{EAP},\angle{FAO}=\angle{GAO}$ ,
于是
$\angle{AFX}=\angle{AFD}-\angle{DFK}=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}(\angle{FAO}-\angle{OAP}-\angle{DAP})-\angle{B}$

$\angle{AGX}=\angle{AGE}-\angle{LGE}=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}(\angle{GAO}+\angle{OAP}-\angle{EAP})-\angle{C}$

由于引理的 $\angle B - \angle C = \angle{OAP.}$ ，得到 $\angle{AFX}=\angle{AGX}$

可是F,G兩點關(guān)于直線AO對稱，這意味著，X 點必須落在AO上。

Hank612的站內(nèi)信截圖，見附件 111.png

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16樓2015-07-27 08:34:39

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引用回帖:

2樓: Originally posted by 木易山水 at 2015-07-19 21:06:21
開玩笑吧？這是今年IMO的題目，整個國內(nèi)能找出做出來的都不大可能，更何談簡潔明了的證明？

版面歡迎各種問題交流。

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3樓2015-07-19 22:59:12

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11樓: Originally posted by 基極電流 at 2015-07-24 11:47:17
一看這題就想到用解析幾何的方法證，把所有的點、線都用A、B、C三個已知點的坐標(biāo)來表示，似乎沒有難度，但比較繁。樓主要求“簡潔明快”的證明，還真得慢慢想一想。

目測解析幾何的方法懸，即使最后所有的坐標(biāo)你都有了，但是如果不能從坐標(biāo)中找出隱含的幾何意義，你也未必能證明出來。
就像給你橢圓的方程，你可能無法意識到焦點以及曲線的幾何意義
坐標(biāo)方法去做幾何證明題在剛開始的思路是清晰的，但是做到某一步后就會面對一大堆代數(shù)式無路可走
不過這個題你可以試試

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15樓2015-07-24 17:33:36

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開玩笑吧？這是今年IMO的題目，整個國內(nèi)能找出做出來的都不大可能，更何談簡潔明了的證明？

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2樓2015-07-19 21:06:21

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@feixiaolin

我們都經(jīng)歷過無數(shù)的考試，知道一張卷子里有送分題，給大家一些基礎(chǔ)分?jǐn)?shù)；還有一些大題，用來拉開分?jǐn)?shù)差距的。

這道平面幾何題，只要倒騰角度就可以了，在奧數(shù)這個水平上，勉強(qiáng)算送分題吧。我把答案發(fā)給了feixiaolin大神，蟲友們先百花齊放一個星期，如果大家提供的解法和我的不同，到時候請版主大神把答案貼到這個帖子里，如何？

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We_must_know. We_will_know.

4樓2015-07-20 02:55:12

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收到。謝謝Hank612.

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5樓2015-07-20 04:42:16

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imo試題？不容易啊？看不出…………

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青蔥歲月圣誕夜，浪漫歌舞迎新年。

6樓2015-07-21 15:53:25

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收到，
慢慢的想。

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7樓2015-07-23 06:45:31

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數(shù)學(xué)丟了好多年了，現(xiàn)在看題目都要半天，唉！腦袋不靈活啦。

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8樓2015-07-23 12:29:41

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引用回帖:

厲害厲害！
我還以為這種題目只有經(jīng)過專業(yè)訓(xùn)練的人才能做出來呢，看來太無知了，贊一個！
不過我估計論壇里除了你之外能做的人少之又少～

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9樓2015-07-24 07:46:22

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【答案】應(yīng)助回帖

一般人估計沒幾個能解得出來

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安安靜靜的就好

10樓2015-07-24 10:24:47

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