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sdztao

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[交流] 2015年國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽（IMO）試題（轉(zhuǎn)帖）已有5人參與

2015年國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽（IMO）試題

　

第1題

　　我們稱平面上一個(gè)有限點(diǎn)集S是平衡的，如果對(duì)S中任意兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，都存在S中一點(diǎn)C，滿足AC=BC。我們稱S是無(wú)中心的，如果對(duì)S中任意三個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，都不存在S中一點(diǎn)P，滿足PA=PB=PC。

　　（a）證明：對(duì)每個(gè)整數(shù) n≥3，均在一個(gè)由n個(gè)構(gòu)成的平衡點(diǎn)集。

　�。╞）確定所有的整數(shù)n≥3，使得存在一個(gè)由n個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的平衡且無(wú)中心的點(diǎn)集。

　　第2題

　　確定所有三元整數(shù)組（a，b，c），使得ab－c，bc－a，ca－b中每個(gè)數(shù)都是2的方冪。（2的方冪是指形如2n的整數(shù)，其中n是一個(gè)非負(fù)整數(shù)。）

　　第3題

　　在銳角三角形ABC中，AB>AC，設(shè)r是它的外接圓，H是它的垂心，F(xiàn)是由頂點(diǎn)A處所引高的垂足，M是邊BC的中點(diǎn)，Q是r上的一點(diǎn)，使得∠HQA=90°。K是r上的一點(diǎn)，使得∠HKQ=90°。已知點(diǎn)A、B、C、K、Q互不相同，且按此順序排列在r上，證明：三角形KQH的外接圓和三角形FKM的外接圓相切。

ＰＳ：轉(zhuǎn)帖

2015IMO—第3題圖.png

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1樓 2015-07-21 21:37:50

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bluesine

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國(guó)際奧賽就做這些。。。。。。�？迂浐�(jiǎn)直

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板凳要做十年冷文章不發(fā)一個(gè)字

2樓2015-07-22 13:57:29

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ws81466

3樓2015-07-22 15:52:17

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4樓2015-07-24 10:26:57

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hank612

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初中時(shí)對(duì)平面幾何的輔助線就覺得太過(guò)神奇，從虛無(wú)中來(lái)，到虛無(wú)中去，不是我能掌握的，暫且用解析幾何的簡(jiǎn)單暴力來(lái)求解。感謝吳文俊老師的機(jī)器證明方法，以力破巧。

先做一些假設(shè)：原點(diǎn)設(shè)在圓ABC的圓心；設(shè)圓ABC為單位圓；由于M，H，N，Q共線，設(shè)該線平行于X軸；由于不想處理半角的三角函數(shù)，設(shè)坐標(biāo)有一點(diǎn)點(diǎn)奇怪，取a,b使得
A點(diǎn)坐標(biāo) $(\cos(a+b),-\sin(a+b))$ , Q點(diǎn)坐標(biāo) $(\cos(a+b),\sin(a+b))$ 。于是整個(gè)圖形其它點(diǎn)登時(shí)完全確定。

記D點(diǎn)為A點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn) $(-\cos(a+b),\sin(a+b))$ ， K點(diǎn) $(\cos(a-b),\sin(a-b))$ ， H點(diǎn)坐標(biāo) $(2\frac{\sin}{\sin{a}}+\cos(a+b),\sin(a+b))$ . 然后M點(diǎn)為DH的中點(diǎn)，坐標(biāo)為
$(\frac{\sin}{\sin{a}},\sin(a+b))$ ， N為QH的中點(diǎn) $(\frac{\sin}{\sin{a}}+\cos(a+b),\sin(a+b))$ ， F點(diǎn)的坐標(biāo)要稍作計(jì)算，為
$(\frac{\sin}{\sin{a}}+\frac{\sin{a}\cos{a}\sin^3(a+b)}{\sin^2+\sin^2{a}\sin^2(a+b)},\sin(a+b)-\frac{\cos{a}\sinsin^2(a+b)}{\sin^2+\sin^2{a}\sin^2(a+b)})$ .

下面開始炒菜。證明兩圓KHQ， KFM相切，由于它們有顯然交點(diǎn)K，只需要證明兩圓圓心與K三點(diǎn)共線。由于圓KFM的圓心就是 MF中垂線與MK中垂線的交點(diǎn)，圓KHQ的圓心就是N點(diǎn)，具體做法是：列出NK直線與MF中垂線的交點(diǎn)的方程，再列出NK直線與MK中垂線的交點(diǎn)方程。如果兩個(gè)方程得到的x坐標(biāo)是一樣的，自然三點(diǎn)共線。這個(gè)方法可以盡量避免不必要的運(yùn)算。圓KFM圓心坐標(biāo)也許非常復(fù)雜，但干卿何事。

直線NK的方程為 $Y=\tan(2a)X -\frac{\sin(a+b)}{\cos(2a)}$ , 所以NK交MF中垂線的交點(diǎn)的x坐標(biāo)滿足
$\tan(2a)X-\frac{\sin(a+b)}{\cos(2a)}-(\sin(a+b)-\frac{\cos{a}\sin\sin^2(a+b)}{2(\sin^2+\sin^2{a}\sin^2(a+b))})=\frac{\sin{a}\sin(a+b)}{\sin}(X-(\frac{\sin}{\sin{a}}+\frac{\sin{a}\cos{a}\sin^3(a+b)}{2(\sin^2+\sin^2{a}\sin^2(a+b))}))$

NK交MK中垂線的交點(diǎn)的x坐標(biāo)滿足

$\tan(2a)X-\frac{\sin(a+b)}{\cos(2a)}-\sin{a}\cos=\frac{\sin(a-b)}{2\sin{a}\sin}(X-(\frac{\sin}{2\sin{a}}+\frac{\cos{a-b}}{2}))$

稍加化簡(jiǎn)，就是要求證明
$(\frac{1}{\cos(2a)}-\frac{\cos{a}\sin{a+b}}{2\sin})(\tan(2a)-\frac{\sin(a-b)}{2\sin{a}\sin})=(\frac{1}{\cos(2a)}+\frac{\sin-\sin{a}\cos(a+b)}{4\sin^2{a}\sin})(\tan(2a)-\frac{\sin{a}\sin(a+b)}{\sin})$

這一路走來(lái)，我們幾乎都沒做實(shí)質(zhì)性的計(jì)算，可上面的三角恒等式就沒法再逃避了。大神們，請(qǐng)證明上述恒等式吧。

2015年國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽（IMO）試題（轉(zhuǎn)帖）-1

三角恒等式.png

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5樓2015-08-03 07:06:59

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cooooldog

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引用回帖:

5樓: Originally posted by hank612 at 2015-08-03 07:06:59
初中時(shí)對(duì)平面幾何的輔助線就覺得太過(guò)神奇，從虛無(wú)中來(lái)，到虛無(wú)中去，不是我能掌握的，暫且用解析幾何的簡(jiǎn)單暴力來(lái)求解。感謝吳文俊老師的機(jī)器證明方法，以力破巧。

先做一些假設(shè)：原點(diǎn)設(shè)在圓ABC的圓心；設(shè)圓A ...

原來(lái)吳文俊是你老師，怪不得這么厲害

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ส็็็็็็็็็็็็็็็็็็็็

6樓2015-08-03 13:06:54

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引用回帖:

6樓: Originally posted by cooooldog at 2015-08-03 13:06:54

原來(lái)吳文俊是你老師，怪不得這么厲害...

我不是吳老師的學(xué)生，您謬贊了

吳方法舉世皆知，簡(jiǎn)單而深刻，讓人心向往之
http://baike.baidu.com/view/1567435.htm

幾何定理機(jī)器證明

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7樓2015-08-03 13:18:26

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