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[求助] 上確界的比較問題已有5人參與

命題1：設(shè)f 在實(shí)數(shù)區(qū)間(a,b)上有定義, a<c<b,
$\alpha_c=\sup\{f(x)|c\le x<b\},~\beta_c=\sup\{f(x)|a<x<c\},$
則
$\lim_{c\to a}\alpha_c\ge \lim_{c\to a}\beta_c~.$

命題1是否成立，怎么證明？謝謝。

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1樓 2015-07-24 14:29:19

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為了突出c能否將開區(qū)間分割出一個(gè)空集的思想，本樓提一個(gè)相關(guān)的新命題。
命題2：設(shè)f在開區(qū)間上(a,b)上有定義，則

$\lim_{c\to a}\sup\{f(x)|c\le x<b\}=\sup\{f(x)|a<x<b\}~.$

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11樓2015-07-25 07:02:37

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這個(gè)問題是重要的，關(guān)系到很多相同類型的判斷：想象一段實(shí)數(shù)區(qū)間上有一個(gè)閥門，當(dāng)閥門無限靠近其中一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，閥門的另一側(cè)是否能當(dāng)成整個(gè)區(qū)間來看待？

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2樓2015-07-24 16:06:32

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bluesine

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

不成立。隨便就能舉個(gè)反例。。。f（x）= -sgn(x), c=0;
代進(jìn)去命題不成立

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3樓2015-07-24 16:23:08

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引用回帖:

3樓: Originally posted by bluesine at 2015-07-24 16:23:08
不成立。隨便就能舉個(gè)反例。。。f（x）= -sgn(x), c=0;
代進(jìn)去命題不成立

請您確定a,b的取值，謝謝。

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4樓2015-07-24 16:32:40

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4樓: Originally posted by tigou at 2015-07-24 16:32:40
請您確定a,b的取值，謝謝。...

a=-1,b=1就可以了,
不喜歡愛取多少都可以，沒限制

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5樓2015-07-24 17:17:38

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5樓: Originally posted by bluesine at 2015-07-24 17:17:38
a=-1,b=1就可以了,
不喜歡愛取多少都可以，沒限制...

謝謝，請您仔細(xì)看命題1。就您給定的函數(shù)，該命題嚴(yán)格成立。請注意，題中比較的是c趨于a時(shí)的極限，而不是隨意選定一個(gè)c來比較。

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6樓2015-07-24 18:13:25

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

我覺得是成立的，感覺可以用反證法證明。

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知其然，知其所以然。

7樓2015-07-24 21:45:20

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

可以舉個(gè)反例: $f(x)=\frac{1}{x}$
就可知道，這個(gè)命題不成立。

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凡事，一笑而過。。。。。。

8樓2015-07-24 22:46:38

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8樓: Originally posted by hylpy at 2015-07-24 22:46:38
可以舉個(gè)反例:f(x)=\frac{1}{x}
就可知道，這個(gè)命題不成立。

定義區(qū)間怎么選？(0，1)?即便這樣，也需要嚴(yán)格證明

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9樓2015-07-24 23:04:09

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7樓: Originally posted by mygt_hit at 2015-07-24 21:45:20
我覺得是成立的，感覺可以用反證法證明。

能否提供更詳細(xì)時(shí)的思路。命題1成立與否的關(guān)鍵是，c能否把開區(qū)間分成空集和全集兩部分。

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10樓2015-07-24 23:15:43

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