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Sarah_Bless新蟲(chóng) (初入文壇)
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[求助]
高斯積分的結(jié)果開(kāi)根號(hào)有兩個(gè)分支，怎么判斷是哪一個(gè) 已有2人參與
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積分I=\[ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-z x^2} \,dx .\] ，其中Re z > 0， 則 \[I^2 = \frac{\pi}{z}\] 問(wèn)題是\[{(\frac{\pi}{z})}^{\frac{1}{2}}\]是多值函數(shù)，即設(shè)\[ z=\rho e^{i \phi} \]，若Im z不為0，怎么知道I = \[ {(\frac{\pi}{z})}^{\frac{1}{2}} e^{- i {\frac{\phi}{2}}}\]還是 \[ - {(\frac{\pi}{z})}^{\frac{1}{2}} e^{- i {\frac{\phi}{2}}}\]？ |
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bluesine
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9樓2015-08-03 08:18:56
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2樓2015-07-30 00:02:41
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【答案】應(yīng)助回帖
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感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
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被積函數(shù)exp(-(a+ib)*x^2) =exp(-ax^2-ibx^2)= exp(-ax^2)(cos(bx^2)-isin(bx^2)) 所以你的問(wèn)題等價(jià)于證明exp(-ax^2)*cos(bx^2)在積分區(qū)間上的符號(hào)【其中a>0】。 可以證明積分在區(qū)間上是正的，所以你的符號(hào)取正 |
3樓2015-07-30 08:35:03
peterflyer 
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4樓2015-07-30 10:54:45
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