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偶然發(fā)現(xiàn)的同余等式

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1樓 2015-08-19 00:20:05

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12樓: Originally posted by ty5198996 at 2015-08-19 07:32:29
ai，做論文有沒有戲呢

文章寫得很好, 可以作為一篇論文核心部分.
如果要想發(fā)表到高大上的雜志上, 就要學(xué)會(huì)灌水. 好多方向你可以考慮,

(1)https://en.wikipedia.org/wiki/Q- ... o_other_q-functions
$\prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)$ 實(shí)在是太有名了. 如果能聯(lián)系上
https://en.wikipedia.org/wiki/Grassmannian
Grassmanian, 同余式有個(gè)代數(shù)幾何解釋就帥呆了.

(2) 沒事就往Ramanujan各種恒等式上靠靠. 由于數(shù)學(xué)家們公認(rèn)他是天才,又早逝, 都很希望他的某些成果能夠繼續(xù)發(fā)揚(yáng)光大.
http://arxiv.org/pdf/math/9812092v1.pdf

(3) 素性檢驗(yàn). 這又是一個(gè)熱門話題, https://en.wikipedia.org/wiki/Lucas%E2%80%93Lehmer_primality_test
你關(guān)鍵詞里列一個(gè) Lucas-Lehmer primality test, 保證讓評(píng)委肅然起敬.

樓主要腦洞大開, 實(shí)力已夠,祝好運(yùn).

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17樓2015-08-19 08:22:30

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ty5198996

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ai，做論文有沒有戲呢

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12樓2015-08-19 07:32:29

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祝樓主萬(wàn)事順意，心想事成，羊年發(fā)大財(cái)！

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33樓2015-08-19 13:48:28

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拉馬之仆

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給樓主一點(diǎn)建議。
1、樓主的證明不夠嚴(yán)格，要嚴(yán)格證明 $\prod_{n=1}^{p-1}(1-a^n)\equiv p(mod\frac{1-a^p}{1-a})$ ，可能要用到群論工具，特別是素?cái)?shù)階循環(huán)群的生成元的性質(zhì)，并從多項(xiàng)式的零點(diǎn)與因式分解的關(guān)系入手(樓主也正是這么做的)。
2、 $\prod_{n=1}^{p-1}(1-a^n)$ 是一個(gè)關(guān)于 $a$ 的 $\frac{p(p-1)}{2}$ 次多項(xiàng)式，在不改變公式的實(shí)質(zhì)意義的情況下，這個(gè)次數(shù)是可以大大降低的。可通過如下方法降次：
設(shè) $p$ 為素?cái)?shù)， $p$ 次分圓方程 $a^p-1=0$ 的根構(gòu)成一個(gè)循環(huán)群，除根1外，其余根都是該群的生成元(即其它元素都是該元素的整數(shù)冪)，拿 $p=5$ 時(shí)的情形來說，設(shè) $\xi$ 是 $\frac{1-a^5}{1-a}=0$ 的一根，則 $\xi^{-2},\xi^{-1},\xi,\xi^2$ 也是方程的全部根，因此我們完全可以用乘積 $(1-a^{-2})(1-a^{-1})(1-a)(1-a^2)$ 來替換乘積 $(1-a)(1-a^2)(1-a^3)(1-a^4)$ ，經(jīng)適當(dāng)處理后，原結(jié)論可改進(jìn)為：
設(shè) $p$ 為奇素?cái)?shù)，則
$\prod_{n=1}^{\frac{p-1}{2}}(1-a^n)^2\equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}}\cdot p\cdot a^{\frac{p^2-1}{8}}(mod\frac{1-a^p}{1-a})$ 。
而 $\prod_{n=1}^{\frac{p-1}{2}}(1-a^n)^2}$ 是關(guān)于 $a$ 的 $\frac{p^2-1}{4}$ 次多項(xiàng)式，它比 $\prod_{n=1}^{p-1}(1-a^n)$ 的次數(shù)降低了 $\frac{p(p-1)}{2}-\frac{p^2-1}{4}=(\frac{p-1}{2})^2$ 次。
以上建議，僅供參考。

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37樓2015-08-28 23:47:12

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3樓: Originally posted by chentao at 2015-08-19 01:07:32

:hand

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15樓2015-08-19 07:35:26

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mlanqiang

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21樓2015-08-19 08:36:08

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17樓: Originally posted by hank612 at 2015-08-19 08:22:30
文章寫得很好, 可以作為一篇論文核心部分.
如果要想發(fā)表到高大上的雜志上, 就要學(xué)會(huì)灌水. 好多方向你可以考慮,

(1)https://en.wikipedia.org/wiki/Q-Pochhammer_symbol#Relationship_to_other_q-functions
\p ...

謝謝啊，本人沒發(fā)過論文（業(yè)余），也不知什么雜志好，只是偶然發(fā)現(xiàn)這個(gè)等式，樓主做個(gè)朋友吧，我q：1018585594

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24樓2015-08-19 08:40:39

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hylpy

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31樓2015-08-19 09:46:35

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37樓: Originally posted by 拉馬之仆 at 2015-08-28 23:47:12
給樓主一點(diǎn)建議。
1、樓主的證明不夠嚴(yán)格，要嚴(yán)格證明\prod_{n=1}^{p-1}(1-a^n)\equiv p(mod\frac{1-a^p}{1-a})，可能要用到群論工具，特別是素?cái)?shù)階循環(huán)群的生成元的性質(zhì)，并從多項(xiàng)式的零點(diǎn)與因式分解的關(guān)系入手(樓 ...

改進(jìn)后的結(jié)論也可以作如下推廣：
$\prod_{n=1}^{\frac{p-1}{2}}(b^n-a^n)^2\equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}}\cdot p\cdot (a b)^{\frac{p^2-1}{8}}(mod\frac{b^p-a^p}{b-a})$

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38樓2015-08-29 00:23:21

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