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隨機分析講義(英文--A.E.Kyprianou)
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隨機分析講義(英文--A.E.Kyprianou) Lecture Notes. Contents 1 Some discrete motivation 3 1.1 Zero mean random walks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Discrete time stochastic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Finite variance martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Simple random walks and martingale representation . . . . . . . 13 1.6 Gaussian random walks and measure change . . . . . . . . . . . . 15 1.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Construction of Brownian motion 19 2.1 Continuous time stochastic processes . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Existence of Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Brownian motion with continuous paths . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Our notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Paths of Brownian motion 30 3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4 Martingales and the Strong Markov Property 38 4.1 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2 Stopped (super)martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.3 Application to the fluctuation of Brownian motion . . . . . . . . 42 4.4 The Strong Markov Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5 Distributional properties of Brownian motion 52 5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6 Basic functional analysis 58 6.1 Some elementary Lp theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 6.2 Some elementary Hilbert space theory . . . . . . . . . . . . . . . 62 6.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 7 Two Hilbert spaces 68 7.1 The space M2 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 7.2 The space H2T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 8 Stochastic integration 77 8.1 Stochastic integrals for simple processes . . . . . . . . . . . . . . 77 8.2 Itˆo integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 8.3 A broader class of integrands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 8.4 The need for calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 8.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 9 Itˆo calculus 88 9.1 Quadratic variation for martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 9.2 Proof of Theorem 160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 9.3 A sample calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 9.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 10 Martingale representation 101 10.1 Proof of The Martingale Representation Theorem . . . . . . . . . 102 10.2 Other representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 10.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 11 Girsanov’s Theorem 109 11.1 Proof of The Third Girsanov Theorem . . . . . . . . . . . . . . . 112 11.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 |
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