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Introduction to The Calculus of Variations
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Preface to the English Edition ix Preface to the French Edition xi 0 Introduction 1 0.1 Brief historical comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0.2 Model problemand some examples . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Presentation of the content of themonograph . . . . . . . . . . . 7 1 Preliminaries 11 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Continuous and Hölder continuous functions . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Lp spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4 Sobolev spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.5 Convex analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2 Classical methods 45 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2 Euler-Lagrange equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.3 Second formof the Euler-Lagrange equation . . . . . . . . . . . . 59 2.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.4 Hamiltonian formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.5 Hamilton-Jacobi equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 v vi CONTENTS 2.6 Fields theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.6.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3 Direct methods 79 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.2 Themodel case: Dirichlet integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.3 A general existence theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.4 Euler-Lagrange equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.5 The vectorial case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.6 Relaxation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.6.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4 Regularity 111 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.2 The one dimensional case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.3 Themodel case: Dirichlet integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.4 Some general results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5 Minimal surfaces 127 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.2 Generalities about surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.3 The Douglas-Courant-Tonellimethod. . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 5.4 Regularity, uniqueness and non uniqueness . . . . . . . . . . . . . 145 5.5 Nonparametricminimal surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6 Isoperimetric inequality 153 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.2 The case of dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.3 The case of dimension n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 CONTENTS vii 7 Solutions to the Exercises 169 7.1 Chapter 1: Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 7.1.1 Continuous and Hölder continuous functions . . . . . . . 169 7.1.2 Lp spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 7.1.3 Sobolev spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 7.1.4 Convex analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 7.2 Chapter 2: Classicalmethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 7.2.1 Euler-Lagrange equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 7.2.2 Second formof the Euler-Lagrange equation . . . . . . . . 190 7.2.3 Hamiltonian formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 7.2.4 Hamilton-Jacobi equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 7.2.5 Fields theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 7.3 Chapter 3: Directmethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 7.3.1 Themodel case: Dirichlet integral . . . . . . . . . . . . . 196 7.3.2 A general existence theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 7.3.3 Euler-Lagrange equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 7.3.4 The vectorial case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 7.3.5 Relaxation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 7.4 Chapter 4: Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 7.4.1 The one dimensional case . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 7.4.2 Themodel case: Dirichlet integral . . . . . . . . . . . . . 207 7.5 Chapter 5: Minimal surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 7.5.1 Generalities about surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 7.5.2 The Douglas-Courant-Tonelli method . . . . . . . . . . . 213 7.5.3 Nonparametricminimal surfaces . . . . . . . . . . . . . . 213 7.6 Chapter 6: Isoperimetric inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 7.6.1 The case of dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 7.6.2 The case of dimension n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Bibliography 219 Index 227 |
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