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我不是數(shù)學專業(yè)的，而且我現(xiàn)在正在復習中學數(shù)學，你應該能估計出我的數(shù)學水平�！皬V義乘”我以前聞所未聞。我感覺樓主不是那種死讀書，讀死書的人，我覺得國內(nèi)培養(yǎng)的學生像樓主這樣的不多見。希爾伯特把科學家簡單的分為兩類人：解決過有價值的問題的和沒有解決過有價值的問題的。樓主如果真在這個問題上挖掘出有價值的東西，我算是樓主早期思想的見證人，有一份榮光的，呵呵。

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11樓2015-09-16 09:28:35

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注意，希爾伯特不是說解決過問題還是沒有解決過問題！

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12樓2015-09-16 09:30:20

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引用回帖:

10樓: Originally posted by tigou at 2015-09-16 08:00:32
確實有難度，一個人的思路太窄，所以提出來供大家參考。{a_n}具有良好的閉區(qū)間套性質(zhì)，只不過區(qū)間長度不一定趨于0。針對這個數(shù)列，有可能總結出好幾個新定理，并且為廣義乘向?qū)崝?shù)集的擴張奠定基礎。...

樓主想得太多啦。其實，從你給出的數(shù)據(jù)，可以提煉出如下結論：

tigou定理：設0<x<1, $a_0=1, a_{n+1}=x^{a_n}$ (n為任意自然數(shù)).
那么，序列 $a_n$ 有且僅有兩個聚點，記為A，B。它們滿足
$A^A=B^B, x=e^{\frac{\ln{A}}{B}}$ . 進一步地， $a_n$ 收斂當且僅當 $x=e^{-e}$ （即A=B=1/e時).

歡迎大家寫出證明。

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13樓2015-09-16 11:08:11

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引用回帖:

13樓: Originally posted by hank612 at 2015-09-16 11:08:11
樓主想得太多啦。其實，從你給出的數(shù)據(jù)，可以提煉出如下結論：

tigou定理：設0<x<1, a_0=1, a_{n+1}=x^{a_n}(n為任意自然數(shù)).
那么，序列 a_n有且僅有兩個聚點，記為A，B。它們滿足
A^A=B^B, x=e^{\f ...

結論明顯錯誤。已能初步確認（除非計算機的浮點運算引發(fā)了嚴重誤差），數(shù)列收斂的臨界值在0.09至0.1之間，大于臨界值的都收斂，小于臨界值的都發(fā)散，等于臨界值是否收斂則不能確定。不過您的觀點在大量的泥沙中也包含了一顆珍珠。歡迎繼續(xù)思考并評論，有人挑刺總比一個冥思苦想好。另，您對我上次終結出來的關于極限的新定理有什么看法？謝謝。

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14樓2015-09-16 12:59:56

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引用回帖:

14樓: Originally posted by tigou at 2015-09-16 12:59:56
結論明顯錯誤。已能初步確認（除非計算機的浮點運算引發(fā)了嚴重誤差），數(shù)列收斂的臨界值在0.09至0.1之間，大于臨界值的都收斂，小于臨界值的都發(fā)散，等于臨界值是否收斂則不能確定。不過您的觀點在大量的泥沙中也包 ...

(1)假如函數(shù) $a^{a^x}-x$ 在[0,1]上嚴格單調(diào)下降: (譬如,當 $a>e^{-e}\approx 0.065988$ 時, 在[0,1]上導函數(shù) $a^{a^x+x}\ln^2{a}-1<0$ )

由于方程 $a^x=x$ 在[0,1]上有唯一解C=C(a), 于是知道若x<C, (類似的,或者C<y), 則 $x<a^{a^x}<C<a^{a^{a^x}}<a^x$ , 因此序列圍繞著C點,奇數(shù)項單調(diào)上升, 偶數(shù)項單調(diào)下降,上下極限均存在. 可是上下極限點必須是 $a^{a^x}-x=0$ 的解, 因此極限點必然就是C.

總而言之, 在這種情況下, 序列振蕩收斂于C, 其中C是滿足 $a^x=x$ 在[0,1]上的唯一解.

(2) 當 $a<e^{-e}$ 時, 可以知道,方程 $a^{a^x}=x$ 在[0,1]上有三個解. 其中一個C滿足 $a^C=C$ , 另外一對共軛解P,Q滿足 $a^P=Q, a^Q=P$ , 于是 $P^P=Q^Q=a^{PQ}$ , 即 $a=e^{\frac{\ln{P}}{Q}}$

不妨設P<Q.
這時候,如果0<x<P (類似的,或1>y>Q), 則有
$x< a^{a^x}<P <Q < a^{a^{a^x}}<a^x$
即序列被區(qū)間[P,Q]隔斷,兩邊跳, 序列振蕩趨于下極限P和上極限Q.

如果P<x<Q, 首先由于 $P<x<Q \Rightarrow P<a^x<Q$ , 序列完全被限制在區(qū)間[P,Q]內(nèi).
不妨設P<x<C, (類似的,或者C<y<Q), 則有
$P< a^{a^x}<x <C <a^x< a^{a^{a^x}}<Q$ , 立刻知道,序列依然振蕩趨于下極限P和上極限Q. 換句話說, 不動點x=C是排斥子(源),而P,Q共軛點對是吸引子(匯).

$a=e^{-e}$ 時,歸到第一種情況, 收斂于極限點 $C=\frac{1}{e}$

所以, tigou的觀察是非常敏銳并且極具前瞻性的, 我樓上的貼子是錯誤百出的, 貽笑大方了, 蟲友們請見諒.

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15樓2015-09-17 06:26:35

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★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
feixiaolin: 金幣+8 2015-09-17 12:36:55

引用回帖:

15樓: Originally posted by hank612 at 2015-09-17 06:26:35
(1)假如函數(shù) a^{a^x}-x在上嚴格單調(diào)下降: (譬如,當a>e^{-e}\approx 0.065988時, 在上導函數(shù)a^{a^x+x}\ln^2{a}-1<0)

由于方程a^x=x在上有唯一解C=C(a), 于是知道若x<C, (類似的,或者C<y), 則x<a ...

(1)假如函數(shù)a^{a^x}-x在[0,1]上嚴格單調(diào)下降: (譬如,當a>e^{-e}= 0.065988...時, 在[0,1]上導函數(shù)a^{a^x+x}\ln^2{a}-1<0)
由于方程a^x=x在[0,1]上有唯一解C=C(a), 于是知道若x<C, (類似的,或者C<y), 則x<a^{a^x}<C<a^{a^{a^x}}<a^x, 因此序列圍繞著C點,奇數(shù)項單調(diào)上升, 偶數(shù)項單調(diào)下降,上下極限均存在. 可是上下極限點必須是a^{a^x}=x的解, 因此極限點必然就是C.
總而言之, 在這種情況下, 序列振蕩收斂于C, 其中C是滿足a^x=x在[0,1]上的唯一解.
(2) 當a<e^{-e}時, 可以知道,方程a^{a^x}=x在[0,1]上現(xiàn)在有三個解. 其中一個C滿足a^C=C另外一對共軛解P,Q滿足a^P=Q, a^Q=P, 于是P^P=Q^Q=a^{PQ}, 即a=e^{\frac{\ln{P}}{Q}}不妨設P<Q.
這時候,如果0<x<P (類似的,或1>y>Q), 則有
x< a^{a^x}<P <Q < a^{a^{a^x}}<a^x
即序列被區(qū)間[P,Q]隔斷,兩邊跳, 序列振蕩趨于下極限P和上極限Q.
如果P<x<Q, 首先由于P<a^x<Q , 序列完全被限制在區(qū)間[P,Q]內(nèi).
不妨設P<x<C, (類似的,或者C<y<Q), 則有
P< a^{a^x}<x <C <a^x< a^{a^{a^x}}<Q立刻知道,序列依然振蕩趨于下極限P和上極限Q. 換句話說, 不動點x=C是排斥子(源),而P,Q共軛點對是吸引子(匯).

a=e^{-e}時,歸到第一種情況, 收斂于極限點C=1/e.

所以, tigou的觀察是完全正確的, 我樓上的貼子是錯誤百出的, 貽笑大方了, 蟲友們請見諒.

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16樓2015-09-17 07:16:52

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引用回帖:

16樓: Originally posted by hank612 at 2015-09-17 07:16:52
(1)假如函數(shù)a^{a^x}-x在上嚴格單調(diào)下降: (譬如,當a>e^{-e}= 0.065988...時, 在上導函數(shù)a^{a^x+x}\ln^2{a}-1<0)
由于方程a^x=x在上有唯一解C=C(a), 于是知道若x<C, (類似的,或者C<y), 則x<a^{a^x} ...

謝謝抬愛。事實上您的基本功比我扎實多了，例如您用方程a^{a^x}=x的解來誘導數(shù)列的極限點，就是我沒想到的。我只考慮過方程a^x=x的解，因而無法確定在什么情況下數(shù)列發(fā)散。

本帖的問題已經(jīng)解決。但為了加快廣義乘向非負實數(shù)集乃至復數(shù)集延拓的步伐，并且體現(xiàn)出您的貢獻，建議您抽出寶貴的時間來共同完成一篇東西。

基本思路如下：放棄光滑性的要求，用函數(shù)項級數(shù)的方式來定義指數(shù)在[0,1]區(qū)間的廣義乘（這種定義方式受到過拉馬之仆的啟發(fā)，如果該蟲友有興趣，也可以一起合作），大于1的情況則采用遞歸方式定義。但這種定義方式需要仔細分析函數(shù)項級數(shù)的連續(xù)性、單調(diào)性等性質(zhì)，本帖的問題只是第一步，這種分析需要您和其他合作者（如果有的話）來完成。我的主要精力則放在處理廣義乘與三角函數(shù)、微積分運算的關系上，并且正式提出二級函數(shù)猜想。

用[+n]表示n級乘(這里的n大于等于3，小于3的情況采用傳統(tǒng)符號)，a_m表示a^x的泰勒級數(shù)的系數(shù)，任給正實數(shù)b和[0,1]上的x，其n級乘計算方式定義如下：
b[+n]x=1+\sum_{m=1}^{\infty}a_m*x[+n](2m+1)
請仔細分析n取任意值時，函數(shù)b[+n]x在區(qū)間[0,1]上的單調(diào)性、連續(xù)性以及您認為重要的其他性質(zhì)。歡迎任何有興趣、有能力并且信任我的蟲友參與合作，您的結果可以在本帖公開，也可發(fā)送至tigou@sina.com。

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17樓2015-09-17 09:48:05

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引用回帖:

17樓: Originally posted by tigou at 2015-09-17 09:48:05
謝謝抬愛。事實上您的基本功比我扎實多了，例如您用方程a^{a^x}=x的解來誘導數(shù)列的極限點，就是我沒想到的。我只考慮過方程a^x=x的解，因而無法確定在什么情況下數(shù)列發(fā)散。

本帖的問題已經(jīng)解決。但為了加快廣義 ...

更正：
b[+n]x=1+\sum_{m=0}^{\infty}b_m*x[+n](2m+1)
其中b_m為b^x的泰勒級數(shù)的系數(shù)。

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18樓2015-09-17 10:18:04

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tigou(feixiaolin代發(fā)): 金幣+5 2015-09-17 12:36:34

引用回帖:

樓主謬贊了。樓主的奇思妙想讓人深感敬佩。
合作就算了，你有什么問題，就放到版上來，大家集思廣益，豈不甚好？

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19樓2015-09-17 10:39:31

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引用回帖:

18樓: Originally posted by tigou at 2015-09-17 10:18:04
更正：
bx=1+\sum_{m=0}^{\infty}b_m*x(2m+1)
其中b_m為b^x的泰勒級數(shù)的系數(shù)。...

繼續(xù)更正：
b[+n]x=1+\sum_{m=1}^{\infty}b_m*x[+n](2m-1)
其中b_m為b^x的泰勒級數(shù)的系數(shù)。這種定義能保證，對于任意的高級乘，b[+n]0=1，b[+n]1=b。并且表述比較統(tǒng)一和簡潔。

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20樓2015-09-17 13:03:47

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