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tigou木蟲(chóng) (正式寫(xiě)手)
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[求助]
求數(shù)列的上下極限 已有2人參與
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設(shè)0<x<1, a_0=1, a_{n+1}=x^{a_n}(n為任意自然數(shù)). 求數(shù)列a_n的上下極限. 謝謝. |
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tigou
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14樓2015-09-16 12:59:56
hank612
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feixiaolin: 金幣+8 2015-09-17 12:36:55
feixiaolin: 金幣+8 2015-09-17 12:36:55
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(1)假如函數(shù)a^{a^x}-x在[0,1]上嚴(yán)格單調(diào)下降: (譬如,當(dāng)a>e^{-e}= 0.065988...時(shí), 在[0,1]上導(dǎo)函數(shù)a^{a^x+x}\ln^2{a}-1<0) 由于方程a^x=x在[0,1]上有唯一解C=C(a), 于是知道若x<C, (類(lèi)似的,或者C<y), 則x<a^{a^x}<C<a^{a^{a^x}}<a^x, 因此序列圍繞著C點(diǎn),奇數(shù)項(xiàng)單調(diào)上升, 偶數(shù)項(xiàng)單調(diào)下降,上下極限均存在. 可是上下極限點(diǎn)必須是a^{a^x}=x的解, 因此極限點(diǎn)必然就是C. 總而言之, 在這種情況下, 序列振蕩收斂于C, 其中C是滿(mǎn)足a^x=x在[0,1]上的唯一解. (2) 當(dāng)a<e^{-e}時(shí), 可以知道,方程a^{a^x}=x在[0,1]上現(xiàn)在有三個(gè)解. 其中一個(gè)C滿(mǎn)足a^C=C另外一對(duì)共軛解P,Q滿(mǎn)足a^P=Q, a^Q=P, 于是P^P=Q^Q=a^{PQ}, 即a=e^{\frac{\ln{P}}{Q}}不妨設(shè)P<Q. 這時(shí)候,如果0<x<P (類(lèi)似的,或1>y>Q), 則有 x< a^{a^x}<P <Q < a^{a^{a^x}}<a^x 即序列被區(qū)間[P,Q]隔斷,兩邊跳, 序列振蕩趨于下極限P和上極限Q. 如果P<x<Q, 首先由于P<a^x<Q , 序列完全被限制在區(qū)間[P,Q]內(nèi). 不妨設(shè)P<x<C, (類(lèi)似的,或者C<y<Q), 則有 P< a^{a^x}<x <C <a^x< a^{a^{a^x}}<Q立刻知道,序列依然振蕩趨于下極限P和上極限Q. 換句話(huà)說(shuō), 不動(dòng)點(diǎn)x=C是排斥子(源),而P,Q共軛 點(diǎn)對(duì)是吸引子(匯). a=e^{-e}時(shí),歸到第一種情況, 收斂于極限點(diǎn)C=1/e. 所以, tigou的觀察是完全正確的, 我樓上的貼子是錯(cuò)誤百出的, 貽笑大方了, 蟲(chóng)友們請(qǐng)見(jiàn)諒. |
16樓2015-09-17 07:16:52
peterflyer 
木蟲(chóng)之王 (文學(xué)泰斗)
peterflyer
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2樓2015-09-14 06:51:30
ddcy
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【答案】應(yīng)助回帖
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
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這個(gè)數(shù)列的上限顯然是1（即a_0）。下限是x（即a_1），因?yàn)?<x<1，當(dāng)n>1，數(shù)列中所有的項(xiàng)都大于x（且趨于1）。 發(fā)自小木蟲(chóng)Android客戶(hù)端 |
3樓2015-09-14 08:46:08
tigou
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謝謝參與。但excel似乎不同意您的說(shuō)法： 0.01 0.954992586 0.012303108 0.944917265 0.012887405 0.942378112 0.013038985 0.941720513 0.013078531 0.941549024 0.013088864 0.941504223 0.013091565 0.941492513 0.013092271 0.941489452 0.013092455 0.941488652 0.013092503 0.941488443 0.013092516 0.941488388 0.013092519 0.941488374 0.01309252 0.94148837 0.01309252 0.941488369 0.01309252 0.941488369 0.013092521 0.941488369 0.013092521 |
4樓2015-09-14 09:02:51
tigou
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5樓2015-09-14 09:03:31
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【答案】應(yīng)助回帖
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我沒(méi)仔細(xì)考慮數(shù)列的這種擺動(dòng)。但數(shù)列的上限是1，下限是x好像沒(méi)錯(cuò)。 發(fā)自小木蟲(chóng)Android客戶(hù)端 |
6樓2015-09-14 09:26:57
ddcy
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7樓2015-09-14 09:30:48
tigou
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這個(gè)更有意思： 0.390504933 0.390504949 0.390504933 0.390504948 0.390504934 0.390504947 0.390504935 0.390504946 0.390504936 0.390504946 0.390504936 以上x(chóng)=0.09，n=281至 291，眼看著上下限就要合并了，但一股神秘的力量使它們?cè)僖矡o(wú)法靠近半步。0.00000001的距離有多遠(yuǎn)？在這里就是永遠(yuǎn)。當(dāng)然，這種現(xiàn)象有可能是浮點(diǎn)計(jì)算不精確的原因造成的，但也有可能的確存在上下限靠得很近但確實(shí)不同的情況。我甚至猜測(cè)：任給正數(shù)b（無(wú)論多么�。�，總存在x使a_n的上下極限不同而間距小于b。還有，在0.09和0.1之間似乎存在一個(gè)臨界值，x大于該數(shù)則數(shù)列收斂，x小于該數(shù)則數(shù)列發(fā)散。有太多的跡象表明，廣義乘是一座豐富的數(shù)學(xué)寶藏，早期探索者很容易遇到前所未見(jiàn)的奇珍異寶。 |
8樓2015-09-14 09:42:37
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如果數(shù)列不包含a_0，則數(shù)列的下限依然是x，上限好像就不好確定了。你的問(wèn)題好像難度不小唉。 發(fā)自小木蟲(chóng)Android客戶(hù)端 |
9樓2015-09-14 10:09:36
tigou
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10樓2015-09-16 08:00:32
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