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tigou木蟲 (正式寫手)
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[求助]
求數(shù)列的上下極限 已有2人參與
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設0<x<1, a_0=1, a_{n+1}=x^{a_n}(n為任意自然數(shù)). 求數(shù)列a_n的上下極限. 謝謝. |
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tigou
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14樓2015-09-16 12:59:56
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(1)假如函數(shù)a^{a^x}-x在[0,1]上嚴格單調下降: (譬如,當a>e^{-e}= 0.065988...時, 在[0,1]上導函數(shù)a^{a^x+x}\ln^2{a}-1<0) 由于方程a^x=x在[0,1]上有唯一解C=C(a), 于是知道若x<C, (類似的,或者C<y), 則x<a^{a^x}<C<a^{a^{a^x}}<a^x, 因此序列圍繞著C點,奇數(shù)項單調上升, 偶數(shù)項單調下降,上下極限均存在. 可是上下極限點必須是a^{a^x}=x的解, 因此極限點必然就是C. 總而言之, 在這種情況下, 序列振蕩收斂于C, 其中C是滿足a^x=x在[0,1]上的唯一解. (2) 當a<e^{-e}時, 可以知道,方程a^{a^x}=x在[0,1]上現(xiàn)在有三個解. 其中一個C滿足a^C=C另外一對共軛解P,Q滿足a^P=Q, a^Q=P, 于是P^P=Q^Q=a^{PQ}, 即a=e^{\frac{\ln{P}}{Q}}不妨設P<Q. 這時候,如果0<x<P (類似的,或1>y>Q), 則有 x< a^{a^x}<P <Q < a^{a^{a^x}}<a^x 即序列被區(qū)間[P,Q]隔斷,兩邊跳, 序列振蕩趨于下極限P和上極限Q. 如果P<x<Q, 首先由于P<a^x<Q , 序列完全被限制在區(qū)間[P,Q]內. 不妨設P<x<C, (類似的,或者C<y<Q), 則有 P< a^{a^x}<x <C <a^x< a^{a^{a^x}}<Q立刻知道,序列依然振蕩趨于下極限P和上極限Q. 換句話說, 不動點x=C是排斥子(源),而P,Q共軛 點對是吸引子(匯). a=e^{-e}時,歸到第一種情況, 收斂于極限點C=1/e. 所以, tigou的觀察是完全正確的, 我樓上的貼子是錯誤百出的, 貽笑大方了, 蟲友們請見諒. |
16樓2015-09-17 07:16:52
peterflyer 
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感謝參與，應助指數(shù) +1
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這個數(shù)列的上限顯然是1（即a_0）。下限是x（即a_1），因為0<x<1，當n>1，數(shù)列中所有的項都大于x（且趨于1）。 發(fā)自小木蟲Android客戶端 |
3樓2015-09-14 08:46:08
tigou
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謝謝參與。但excel似乎不同意您的說法： 0.01 0.954992586 0.012303108 0.944917265 0.012887405 0.942378112 0.013038985 0.941720513 0.013078531 0.941549024 0.013088864 0.941504223 0.013091565 0.941492513 0.013092271 0.941489452 0.013092455 0.941488652 0.013092503 0.941488443 0.013092516 0.941488388 0.013092519 0.941488374 0.01309252 0.94148837 0.01309252 0.941488369 0.01309252 0.941488369 0.013092521 0.941488369 0.013092521 |
4樓2015-09-14 09:02:51
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tigou
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這個更有意思： 0.390504933 0.390504949 0.390504933 0.390504948 0.390504934 0.390504947 0.390504935 0.390504946 0.390504936 0.390504946 0.390504936 以上x=0.09，n=281至 291，眼看著上下限就要合并了，但一股神秘的力量使它們再也無法靠近半步。0.00000001的距離有多遠？在這里就是永遠。當然，這種現(xiàn)象有可能是浮點計算不精確的原因造成的，但也有可能的確存在上下限靠得很近但確實不同的情況。我甚至猜測：任給正數(shù)b（無論多么�。偞嬖趚使a_n的上下極限不同而間距小于b。還有，在0.09和0.1之間似乎存在一個臨界值，x大于該數(shù)則數(shù)列收斂，x小于該數(shù)則數(shù)列發(fā)散。有太多的跡象表明，廣義乘是一座豐富的數(shù)學寶藏，早期探索者很容易遇到前所未見的奇珍異寶。 |
8樓2015-09-14 09:42:37
ddcy
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10樓2015-09-16 08:00:32
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