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nikle2000

木蟲 (小有名氣)

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如題，給出推導(dǎo)過程！謝謝！
$<br /> $\int_0^\infty(y^2+a^a)^{-\gamma/2}\exp(-y^p)dy\simeq c_1(\gamma)a^{-\gamma+1}+c_2(\gamma)$, for $0<\gamma<1, p>0$, where $c_1(\gamma)$ and $c_2(\gamma)$ are positive constants depending only on $\gamma, A\simeq B$ means that there is a constant $c>0$ such that $1/c\leq A/B\leq c.$ <br />$

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1樓 2015-10-15 22:53:40

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nikle2000

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6樓: Originally posted by 阿行 at 2015-10-25 12:30:30
抱歉，說得不對。我修改如下：
首先，令y = at, 則原積分化為
I = a^{-\gamma + 1} \int_0^{+\infty} (t^2 + 1)^{-\frac{\gamma}{2}} e^{- a^p t^p} dt.
對于右端的積分，我們有
J = \int_0^{+\infty} (t^2 + 1 ...

上界的推導(dǎo)是錯(cuò)的，因?yàn)闃O限號要和積分號交換順序是有條件的---積分必須是一致可積的！

下界是針對I 的，所以后面應(yīng)該是I=a^(-\gamma+1)J->\infty(a->0).顯然不起作用！

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7樓2015-10-26 15:22:01

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hank612

至尊木蟲 (著名寫手)

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★ ★ ★ ★
nikle2000: 金幣+5 2015-10-26 15:11:34

假設(shè)存在常數(shù)C>1以及函數(shù) $C_1(\gamma), C_2(\gamma)$ 使得:
$\frac{1}{C}(C_1(\gamma)a^{1-\gamma}+C_2(\gamma))<\int_{0}^{\infty}(y^2+a^2)^{-\frac{\gamma}{2}}\exp(-y^p)dy<C(C_1(\gamma)a^{1-\gamma}+C_2(\gamma))$ , 我們來推出矛盾.

由于 $0<\gamma<1$ ,當(dāng)P>0趨于0時(shí), $\int_{0}^{\infty}(y^2+a^2)^{-\frac{\gamma}{2}}\exp(-y^p)dy$ 被積函數(shù)大約是 $y^{-\gamma}$ , 積分是發(fā)散的. 可是右端是和P無關(guān)的函數(shù), 肯定做不到界住積分的.

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We_must_know. We_will_know.

2樓2015-10-24 08:31:08

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nikle2000

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引用回帖:

2樓: Originally posted by hank612 at 2015-10-24 08:31:08
假設(shè)存在常數(shù)C>1以及函數(shù)C_1(\gamma), C_2(\gamma)使得:
\frac{1}{C}(C_1(\gamma)a^{1-\gamma}+C_2(\gamma))<\int_{0}^{\infty}(y^2+a^2)^{-\frac{\gamma}{2}}\exp(-y^p)dy<C(C_1(\gamma)a^{1-\gamma}+C_ ...

這里的p是固定的常數(shù)，只要大于0。

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3樓2015-10-24 13:25:17

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阿行

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$y = a \cdot t$ , 可以得到上界的估計(jì)。可是，下界就不好估計(jì)了，主要的困難來自 $a \to +\infty$ 的時(shí)候。

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4樓2015-10-24 23:45:30

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