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新手已上路木蟲 (職業(yè)作家)
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[交流]
里葉變換憑什么統(tǒng)治了大學的數學課程？ 已有13人參與
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從高中的時候學習導數概念開始，我們就知道有函數 特別神奇，或者說皮實經打耐用。它最耳熟能詳的性質就是它不怕求導 變種也不怕，只要把指數的系數寫前面上： 隨便求導毫無鴨梨，這個函數簡直生下來就是用來對付求導的，專注求導五百年。 基于這個簡單的神奇性質，一個廣闊的空間打開了。既然不怕求導，就一定能用來對付和求導密切相關的事情，比如高階微分方程。還猶豫什么？ 讓咱們開始今天的傅里葉和拉普拉斯激情大冒險吧！ 首先看傅里葉變換 為什么它適合解微分方程呢？不妨讓我們看看如果的傅里葉變換是，那么的傅里葉變換是多少？ 根據分部積分，把的導數符號丟到上， 神奇的事情發(fā)生了，函數在處的值都為0，因為在的過程中，幾乎不變而隨著的增大而上下震蕩，所以函數值也快速震蕩，所以平均來說可以認為是。也就是說上面的公式邊界值都為0，這一項可以丟掉。 （萬門大學的劉赫男提出了更嚴謹的證明：因為 積分存在，所以積分內部的函數在的值必須為零，否則發(fā)散。感謝劉赫男的親情幫助�。� 而 的化簡就體現到了神奇函數的性質，可以把指數上的系數拿下來直接拉下來變成 ，神奇函數立功一次！而積分號里面正是 。所以對于傅里葉變換而言， 的傅里葉變換只是的傅里葉變換乘以即可。那么的傅里葉變換呢？當然是再乘一次得到啦。 Oh my Ladygaga！傅里葉變換對付求導真是太方便了，導數本身是復雜的性質，但是在傅里葉變換下，直接變成了乘以系數這么簡單。那么我們頭疼的關于高階微分方程，直接就變成了關于的一階多項式方程。。。求解方程我不會，求解多項式我還能不會嗎？ 讓我們用同樣的視角來審視一下拉普拉斯變換： 簡直是看到了傅里葉變換失散多年親兄弟啊有木有�。�！ 注意看積分符號里面的和是不是一毛一樣�。�！我都看不出有任何的區(qū)別�。。。ㄊ堑奈已劬ο沽耍�，因為本質上都是神奇函數，再重復一次他的性質：專注求導五百年。所以橫掃微分方程并不非不可能。 |
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