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測(cè)度論中:內(nèi)測(cè)度小于等于外測(cè)度

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1樓 2015-12-04 07:44:44

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感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
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這道有意思基礎(chǔ)題被淹沒(méi)了。
證明第一個(gè)不等號(hào)：
Let $\sup{E_1}(A)=\alpha$ , then for any $\varepsilon>0$ , there exists ${B_n}$ and $\bigcup\limits_nB_n \subset A$ such that
$\alpha -\varepsilon< \sum\limits_n \mu (B_n)$
However, for all $A \subset \bigcup\limits_n A_n$ , by the property of countably additivity of the measure, we have that
$\sum\limits_n\mu (B_n)\le\sum\limits_n\mu (A_n)$
Therefore, $\alpha -\varepsilon\le\sum\limits_n\mu (A_n)$ for any $A \subset\bigcup\limits_nA_n$ which directly implies that
$\alpha -\varepsilon\le\inf{E_2}(A)$
Since $\varepsilon>0$ is arbitrary, put $\varepsilon\to 0$ and we then complete our first proof.

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2樓2015-12-06 09:22:41

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2樓: Originally posted by junefi at 2015-12-06 09:22:41
這道有意思基礎(chǔ)題被淹沒(méi)了。
證明第一個(gè)不等號(hào)：
Let \sup{E_1}(A)=\alpha, then for any \varepsilon>0, there exists {B_n} and \bigcup\limits_n {{B_n}} \subset A such that
\alpha - \varepsilon & ...

看不見(jiàn)內(nèi)容

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3樓2015-12-07 06:46:47

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4樓2015-12-07 07:03:22

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3樓: Originally posted by mathematic at 2015-12-07 06:46:47
看不見(jiàn)內(nèi)容
...

手機(jī)可能不支持latex，用網(wǎng)頁(yè)應(yīng)該可以看到，不過(guò)有些亂碼，內(nèi)容中的雙問(wèn)號(hào)(??)請(qǐng)忽略！

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5樓2015-12-07 10:08:06

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半集代數(shù)S中并運(yùn)算不封閉，從而雖然A_n\in S（n=1,2,...），但 $\sum_{n=1}^{+\infty}$ A_n不一定屬于半集代數(shù)S，因此測(cè)度可數(shù)可加性不能運(yùn)用，即\mu(\sum_{n=1}^{+\infty}[/latex]A_n)無(wú)意義。

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6樓2015-12-07 22:13:01

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6樓: Originally posted by mathematic at 2015-12-07 22:13:01
半集代數(shù)S中并運(yùn)算不封閉，從而雖然A_n\in S（n=1,2,...），但\sum_{n=1}^{+\infty}A_n不一定屬于半集代數(shù)S，因此測(cè)度可數(shù)可加性不能運(yùn)用，即\mu(\sum_{n=1}^{+\infty}A_n)無(wú)意義。...

因半集代數(shù)S中并運(yùn)算不封閉，從而雖然 $\{A_n\}_{n=1}^{+\infty}\subset S$ ，但 $\sum_{n=1}^{+\infty}A_n$ 不一定屬于半集代數(shù)S，因此 $\mu(\sum_{n=1}^{+\infty}A_n)$ 無(wú)意義�？蓴�(shù)可加性使用不了的。

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7樓2015-12-07 22:17:33

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7樓: Originally posted by mathematic at 2015-12-07 22:17:33
因半集代數(shù)S中并運(yùn)算不封閉，從而雖然\{A_n\}_{n=1}^{+\infty}\subset S ，但\sum_{n=1}^{+\infty}A_n不一定屬于半集代數(shù)S，因此\mu(\sum_{n=1}^{+\infty}A_n)無(wú)意義�？蓴�(shù)可加性使用不了的。...

您說(shuō)得對(duì)。能不能定義一下半集代數(shù)和具有的性質(zhì)？我在Wikipedia也找不到它的定義。

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8樓2015-12-08 09:39:43

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8樓: Originally posted by junefi at 2015-12-08 09:39:43
您說(shuō)得對(duì)。能不能定義一下半集代數(shù)和具有的性質(zhì)？我在Wikipedia也找不到它的定義。...

Ω上半集代數(shù)S定義(見(jiàn)圖)，比Ω上半環(huán)W的定義弱(半環(huán)W不要求包含Ω)

求助證明，測(cè)度論中:內(nèi)測(cè)度小于等于外測(cè)度(見(jiàn)圖)-1

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9樓2015-12-08 12:11:45

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