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superzhuxun金蟲(chóng) (小有名氣)
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[求助]
大家?guī)臀铱纯催@個(gè)方程的求解 已有3人參與
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求大家?guī)臀铱纯催@個(gè)方程 2015-12-07 21_11_09-新建 Microsoft Word 文檔 - Microsoft Word.jpg |
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getengqing
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2樓2015-12-08 09:15:49
馮卡門
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這是偏微分方程建議看數(shù)理方程方面的樹(shù)，也可以用差分法，有限單元法和邊界元法計(jì)算所有類似的平衡或者穩(wěn)態(tài)方程的數(shù)值解。 發(fā)自小木蟲(chóng)Android客戶端 |
3樓2015-12-08 13:08:06
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4樓2015-12-08 13:52:25
peterflyer 
木蟲(chóng)之王 (文學(xué)泰斗)
peterflyer
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【答案】應(yīng)助回帖
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用分離變量法進(jìn)行求解。 令w(x,z)=X(x)*Z(z)，代入原方程并且兩邊同除X*Z后得到： 1/Z*dZ/dz=B/X*d^2X/dx^2+N=-β^2。 其中β為待定實(shí)數(shù)。 故: Z(z)=a'*exp(-β^2*z) X(x)=a''*Cos{Sqrt[(N+β^2)/B]*x} + b''*Sin{Sqrt[(N+β^2)/B]*x} 故： w(x,z)=exp(-β^2*z)*{a*Cos{Sqrt[(N+β^2)/B]*x} + b*Sin{Sqrt[(N+β^2)/B]*x}} 將w(±L,z)=0 代入上式并注意到exp(-β^2*z)≠0，得到： a*Cos{Sqrt[(N+β^2)/B]*L}=0 （1） 和 b*Sin{Sqrt[(N+β^2)/B]*L}=0 （2） 討論： （一） 假設(shè)a≠0,則由（1）得到： [(N+β^2)/B]*L^2=[(2*k+1/2)*π]^2 其中k=0，1，2，3，...... 。 代入（2）得到 b≡0 wk(x,z)=ak*exp(-β^2*z)*Cos{Sqrt[(N+β^2)/B]*x} =ak*exp{-B*[(2*k+1/2)*π/L]^2*z)*Cos{[(2*k+1/2)*π]/L*x} 而： w(x,z)=Sum{wk(x,z) , k=0~∞} =Sum{ak*exp{-B*[(2*k+1/2)*π/L]^2*z)*Cos{[(2*k+1/2)*π]/L*x} , k=0~∞} 將w(x,0)=w0(x)代入上式: w0(x)=Sum{ak*Cos{[(2*k+1/2)*π]/L*x} , k=0~∞} 再利用三角函數(shù)的正交性，可得： ak= 2/L* Integral{w0(x)*Cos{[(2*k+1/2)*π]/L*x}*dx ,0,L} (二) 假設(shè)b≠0,則由（2）得到： [(N+β^2)/B]*L^2=[(2*k+1)*π]^2 其中k=0,1，2，3，...... 。 代入（2）得到 a≡0 wk(x,z)=bk*exp(-β^2*z)*Sin{Sqrt[(N+β^2)/B]*x} =bk*exp{-B*[(2*k+1)*π/L]^2*z)*Sin{[(2*k+1)*π]/L*x} 而： w(x,z)=Sum{wk(x,z) , k=0~∞} =Sum{bk*exp{-B*[(2*k+1)*π/L]^2*z)*Cos{[(2*k+1)*π]/L*x} , k=0~∞} 將w(x,0)=w0(x)代入上式: w0(x)=Sum{bk*Sin{[(2*k+1)*π]/L*x} , k=0~∞} 再利用三角函數(shù)的正交性，可得： bk= 2/L* Integral{w0(x)*Sin{[(2*k+1)*π]/L*x}*dx ,0,L} |
5樓2015-12-08 14:08:34
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