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北京石油化工學(xué)院2026年研究生招生接收調(diào)劑公告

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FourierTf

新蟲(chóng) (初入文壇)

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[求助] 求助一道測(cè)度論的題已有1人參與

舉例說(shuō)明： $sup_{n \geq 1} \parallel f_{n} \parallel < \propto$ 和 $f_{n} \xrightarrow{ \mu }f$ 并不蘊(yùn)含 $f_{n} \xrightarrow{ (\omega)L_{ \propto } }f$

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1樓 2016-01-05 15:39:26

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hank612

至尊木蟲(chóng) (著名寫(xiě)手)

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3樓: Originally posted by FourierTf at 2016-01-06 14:30:06
謝謝,
\forall g\in L_1
\lim_{n\to\infty}\int_R f_ngd\mu=\lim_{n\rightarrow\infty} \int_{} g d\mu=0
\int_R fgd\mu=0
上述兩極限相等，則f_n弱收斂到f。
我計(jì)算了一下的到了上面的結(jié)果，是哪里出問(wèn)題了嗎 ...

我上面那個(gè)例子是錯(cuò)誤的, 當(dāng)時(shí)沒(méi)有理解 $(w)L_{\infty}$ 是什么意思.

我把例子捎做修改, 令 $f_n(x)=\frac{1}{n}\chi_{(0,n)}(x)$ , 就是函數(shù)值越來(lái)越小, 但非零區(qū)域越來(lái)越大,使得積分值恒等于1.

那么對(duì)有界函數(shù) g(x)=1常數(shù)函數(shù), f_n 依測(cè)度趨于零, 但不會(huì) 弱 $L_{\infty}$ 收斂于零.

可是, 我無(wú)法找到例子, 使得, 對(duì)某個(gè)L_1函數(shù) h(x), $\int|(f_n-f)*h|dx$ 不趨于零.

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We_must_know. We_will_know.

4樓2016-01-07 05:10:40

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hank612

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★ ★ ★
FourierTf(Edstrayer代發(fā)): 金幣+3, Latex應(yīng)助 2016-01-06 04:08:42

樓主可以考察:

$f_n(x)=\chi_{[0,\frac{1}{n}]}(x)$ , 即閉區(qū)間 $[0,\frac{1}{n}]$ 的示性函數(shù).

$f_n$ 依測(cè)度趨于零, 但 $L_{\infty}$ 范數(shù)恒等于1.

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2樓2016-01-06 03:43:40

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FourierTf

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引用回帖:

2樓: Originally posted by hank612 at 2016-01-06 03:43:40
樓主可以考察:

f_n(x)=\chi_{}(x), 即閉區(qū)間的示性函數(shù).

f_n 依測(cè)度趨于零, 但L_{\infty}范數(shù)恒等于1.

謝謝,
$\forall g\in L_1$
$\lim_{n\to\infty}\int_R f_ngd\mu=\lim_{n\rightarrow\infty} \int_{[0,1/n]} g d\mu=0$
$\int_R fgd\mu=0$
上述兩極限相等，則 $f_n$ 弱收斂到f。
我計(jì)算了一下的到了上面的結(jié)果，是哪里出問(wèn)題了嗎？

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3樓2016-01-06 14:30:06

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jabile

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

引用回帖:

4樓: Originally posted by hank612 at 2016-01-07 05:10:40
我上面那個(gè)例子是錯(cuò)誤的, 當(dāng)時(shí)沒(méi)有理解 (w)L_{\infty}是什么意思.

我把例子捎做修改, 令f_n(x)=\frac{1}{n}\chi_{(0,n)}(x), 就是函數(shù)值越來(lái)越小, 但非零區(qū)域越來(lái)越大,使得積分值恒等于1.

那么對(duì)有界函數(shù) g( ...

n和1/n換一下就OK了

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5樓2016-01-07 06:31:21

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