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趙夢92

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【答案】應(yīng)助回帖

maple擅長符號運算，但不擅長矩陣處理，而matlab新版融合maple符號運算以后，并兩者優(yōu)勢兼而有之，用matlab編碼更簡捷一些

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11樓2016-01-08 13:20:35

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xzczd

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
loujing: 金幣+40, ★★★很有幫助 2016-01-08 17:04:29

看看樓上的某些發(fā)言就覺得Mathematica推廣工作任重而道遠……樓主你這個問題是可以用Mathematica推導(dǎo)的。不過在給出解法前得先和你討論清楚一件事：你給出的
$w_j$ 的表達式是不是錯了。我手算和用軟件推導(dǎo)（當然編程里面混入了我的分析，或許是我的分析本身不對）的結(jié)果都是：
$w_j=\frac{\sum _i^n y_i x_i^j}{\sum _i^n x_i^{2 j}}$

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12樓2016-01-08 14:38:05

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【答案】應(yīng)助回帖

引用回帖:

12樓: Originally posted by xzczd at 2016-01-08 14:38:05
看看樓上的某些發(fā)言就覺得Mathematica推廣工作任重而道遠……樓主你這個問題是可以用Mathematica推導(dǎo)的。不過在給出解法前得先和你討論清楚一件事：你給出的
w_j的表達式是不是錯了。我手算和用軟件推導(dǎo)（當然編程 ...

剛不放心所以又帶具體的數(shù)算了一遍，如果各個式子的定義真的如你所寫，那么分母各項的指數(shù)毫無疑問就是2j而不是j+1。

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13樓2016-01-08 14:44:20

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loujing

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引用回帖:

13樓: Originally posted by xzczd at 2016-01-08 14:44:20
剛不放心所以又帶具體的數(shù)算了一遍，如果各個式子的定義真的如你所寫，那么分母各項的指數(shù)毫無疑問就是2j而不是j+1。...

您好，感謝您的回復(fù)。w_j最終的閉解，是原書上給出的。所以我想利用軟件驗證一下。

我在網(wǎng)上搜了一下，李航老師在他新浪博客上給出了勘誤表，http://blog.sina.com.cn/s/blog_7ad48fee01017dpi.html，如截圖。
勘誤表上，原錯誤w_j的結(jié)果分子上是x_i，而我的書上是x_i^j�？磥恚疫@本書是已經(jīng)修訂過的了（購于2015年6月，2015年3月印刷的版本）。

關(guān)于用Maple或Mathematica實現(xiàn)符號多項式擬合

您能否將您的代碼給出，或?qū)?nb以附件形式上傳，讓我研究一下，非常感謝。

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14樓2016-01-08 17:03:58

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引用回帖:

如4樓所貼的書截圖一樣，一般遇到這種，利用輸入x構(gòu)造增廣矩陣X；然后直接得到w的閉解 inv(X'X)X'y。所以還沒去細研究過每個w_j到底是什么。

既然書上給出了w_j的閉解形式，又老聽說Mathematica可以用來輔助公式推導(dǎo)，我就想用這個練練手的。

還望您能給出源碼，謝謝了。

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15樓2016-01-08 17:17:37

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xzczd

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【答案】應(yīng)助回帖

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loujing: 金幣+30, ★★★很有幫助 2016-01-08 18:15:58

引用回帖:

14樓: Originally posted by loujing at 2016-01-08 17:03:58
您好，感謝您的回復(fù)。w_j最終的閉解，是原書上給出的。所以我想利用軟件驗證一下。

我在網(wǎng)上搜了一下，李航老師在他新浪博客上給出了勘誤表，http://blog.sina.com.cn/s/blog_7ad48fee01017dpi.html，如截圖。
...

我覺得你對這段勘誤的理解是不是有誤……這種勘誤格式應(yīng)該是相當于把wj的表達式整個都從原書里去掉了�？傊@里給出我推導(dǎo)出12樓結(jié)果的代碼及解說。

這個問題總的來說還是很有意思的。樓主的計算之所以會失敗大致有兩個原因。其一是原推導(dǎo)中不動聲色地對抽象求和使用了一些相對特殊的處理，Sum[...w[j], {j, 1, M}]里的w[j]的j其實是個局部變量，僅用于由1遍歷至M，而“對w[j]求導(dǎo)”這一運算中的j是一個“可以取值為1到M的任意整數(shù)的變量”，也就是說Sum內(nèi)外的w[j]的所指其實是不同的；其二，Sum在未計算為封閉形式時并不會將內(nèi)部的常數(shù)項自動向外提�。ú⑶宜坪跻矝]有哪個化簡函數(shù)會進行這種操作），一個簡單的例子是

CODE:

Sum[1/2 a[b], {b, c, e}]

其中1/2并不會自動計算到外面。這是可以接受的，畢竟這種計算并沒有使表達式變得更簡單，而對于更一般的情形而言，這種“不變換”甚至可以說是必要的，比如：

CODE:

Sum[ff a[b], {b, c, e}]

這里的ff在表面上雖然是一個常數(shù)項，但是考慮到它在后續(xù)編程中可能被賦為任何值（包括與b有關(guān)的值）所以冒然將它提出顯然會引發(fā)很多麻煩——于是我們就不難理解Solve為什么會求解失敗了：對樓主的問題而言，若要求解方程的話，將符號常量提取到Sum外面無疑是必須的。

好的，說了這么多，我們到底應(yīng)該怎么在Mathematica中完成這個推導(dǎo)呢？前已述及，直接基于內(nèi)置函數(shù)的推導(dǎo)之所以會失敗，是因為這一推導(dǎo)中用到了一些相對特殊的規(guī)則，那么，我們自己把這些規(guī)則編寫出來就可以了，Mathematica核心語言中的模式匹配就是干這個的：

CODE:

Clear[m, n]

f[i_, m_] := Sum[w[j]*x[i]^j, {j, 0, m}]

l = 1/2 Sum[(f[i, m] - y[i])^2, {i, n}];

(*以下規(guī)則對應(yīng)前面提及的第一點*)

rule[w_] := Sum[expr_, {i_, downup__}] /; ! FreeQ[w, i] :> expr

(*以下三條規(guī)則對應(yīng)第二點*)

ruleExpand = Sum[(a_ + b_) c_, i_] :> Sum[(a + b) c // Expand, i];

ruleDistribute = Sum[expr1_ + expr2_, i_] :> Sum[expr1, i] + Sum[expr2, i];

ruleExtract = Sum[a_ b_., {i_, downup__}] /; FreeQ[a, i] :> a Sum[b, {i, downup}];

(*把相應(yīng)的變換規(guī)則代入：*)

D[l /. rule[w@j], w[j]] //. {ruleExpand, ruleDistribute, ruleExtract}

Solve[% == 0, w[j]]

上面這個算是比較中規(guī)中矩的編法，其實，還可以更瘋狂一點的。（注意，以下內(nèi)容僅為展示一種可能性，對解決樓主的問題并非必要。）因為在這里D和Sum的固有規(guī)則對我們的計算造成了麻煩，那我們何不自己寫一套D和Sum呢：

CODE:

rule2[w_] := sum[expr_, {i_, downup__}] /; ! FreeQ[w, i] :> expr

(*d[a_ +b_,x_]:=d[a,x]+d[b,x]*)

d[a_ b_, x_] /; FreeQ[a, x] := a d[b, x]

d[a_^b_, x_] /; FreeQ[b, x] := b a^(b - 1) d[a, x]

d[sum[expr_, i_], x_] := If[FreeQ[i, x], sum[d[expr, x], i], d[expr, x]]

d[expr_, i_] := D[expr, i]

sum[(a_ + b_) c_, i_] := sum[(a + b) c // Expand, i]

sum[expr1_ + expr2_, i_] := sum[expr1, i] + sum[expr2, i]

sum[a_ b_., {i_, downup__}] /; FreeQ[a, i] := a sum[b, {i, downup}]

f2[i_, m_] := sum[w[j]*x[i]^j, {j, 0, m}]

l2 = 1/2 sum[(f2[i, m] - y[i])^2, {i, n}];

d[l2 /. rule2[w@j], w[j]]

Solve[% == 0, w[j]] /. sum -> Sum

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16樓2016-01-08 17:24:49

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原書截圖

關(guān)于用Maple或Mathematica實現(xiàn)符號多項式擬合-1

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17樓2016-01-08 17:28:16

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loujing: 金幣+30, ★★★很有幫助 2016-01-08 23:56:20

引用回帖:

17樓: Originally posted by loujing at 2016-01-08 17:28:16
原書截圖

...

……剛發(fā)現(xiàn)我為了湊出和你的頂樓相似的結(jié)果犯了個錯誤。盯著四樓的圖看了半天（真?zhèn)郏�，現(xiàn)在我基本確定，正確的推導(dǎo)是：

CODE:

f[i_, m_] := Sum[w[j]*x[i]^j, {j, 0, m}]

l = 1/2 Sum[(f[i, m] - y[i])^2, {i, n}];

rulej1[w_] := Sum[expr_, {i_, downup__}] /; ! FreeQ[w, i] :> sum[{i, downup}][expr]

rulej2 = sum[_]'[_] :> 1;

rulej3 = sum[i_][expr_] :> Sum[expr, i];

ruleExpand = Sum[(a_ + b_) c_, i_] :> Sum[(a + b) c // Expand, i];

ruleDistribute = Sum[expr1_ + expr2_, i_] :> Sum[expr1, i] + Sum[expr2, i];

ruleExtract = Sum[a_ b_., {i_, downup__}] /; FreeQ[a, i] :> a Sum[b, {i, downup}];

(D[l /. rulej1[w@j], w[j]] /. {rulej2, rulej3} //. {ruleExpand, ruleDistribute, 

     ruleExtract} // Expand) == 0

$\sum _i^n x(i)^j \left(\sum _{j=0}^m w(j) x(i)^j\right)-\sum _i^n y(i) x(i)^j=0$

這和4樓結(jié)果是一致的，顯然，光靠一個方程是定不了w[j]的，必須聯(lián)立方程組。w[j]的簡單的封閉解是不存在的。

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18樓2016-01-08 17:59:09

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17樓: Originally posted by loujing at 2016-01-08 17:28:16
原書截圖

...

16樓已經(jīng)說了，這種勘誤格式等于是把這一整段從書中刪掉了……

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19樓2016-01-08 18:01:14

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18樓: Originally posted by xzczd at 2016-01-08 17:59:09
……剛發(fā)現(xiàn)我為了湊出和你的頂樓相似的結(jié)果犯了個錯誤。盯著四樓的圖看了半天（真?zhèn)郏�，現(xiàn)在我基本確定，正確的推導(dǎo)是：

f := Sum
l = 1/2 Sum;

rulej1 := Sum /; ! FreeQ :> sum
rulej2 = sum' :> ...

追問一下，在得到這里的聯(lián)立方程組后，符號推導(dǎo)的工作是不是就可以算結(jié)束了？

如果接下來，我給出具體的一組(x_i,y_i)，如何再利用這里的推導(dǎo)，計算出具體的w_j？

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20樓2016-01-08 18:15:38

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