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月只藍

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[交流] 求取多解的非線性代數(shù)方程所有數(shù)值解的方法已有8人參與

0. 引言
一些非線性方程在實數(shù)范圍內(nèi)存在多解，本帖要討論的正是求得所有的這些解的方法。多解方程，其解的個數(shù)不同，求解難度也不同，本帖將針對解個數(shù)較少和解個數(shù)較多的兩種情況，各舉一例進行討論，并提出相應(yīng)的方法和代碼，作者希望本帖提出的方法和代碼能具有較強的普適性。
本帖所采用軟件及其版本：
（1）1stOpt 1.5
（2）MATLAB 2010a
（3）Maple 18

1. 解個數(shù)較少的情況
例：求出如附圖1所示方程的全部解（方程出處：http://www.gaoyang168.com/bbs/viewthread.php?tid=9911763&fpage=1）。

附圖1.png
具體步驟如下：

步驟1：畫出方程圖形，直觀上確定解的個數(shù)
為了畫出方程圖形，首先須正確輸入該方程，如果輸入的原始方程都是錯誤的，就更不用談結(jié)果的正確性。
因此，在步驟1中還包括一個方程輸入預(yù)檢驗的步驟。

步驟1.1：方程輸入預(yù)檢驗
根據(jù)附圖1，可將原始方程寫為：
y=(25-(3/25)*k)^2-9.8*k*tanh((1/10)*k)*(1+(0.125e-2*(8+cosh(.4*k)-2*tanh(.1*k)^2))/sinh(.1*k)^4)
由于待求解方程形式較為復(fù)雜，須檢查方程的輸入是否正確。這里用到的軟件是Maple，利用該軟件強大的二維顯示功能，可判斷方程輸入的正誤。
將上述方程在Maple中的顯示結(jié)果如附圖2所示。

附圖2.png
仔細比對可知，原方程輸入無誤。

步驟1.2：方程圖形繪制
繪制原方程的圖形曲線時，橫軸坐標(biāo)的范圍盡量大一些；同時繪制出直線y=0，該直線與原方程曲線的交點，即為方程的解。
對于本例，MATLAB代碼如下：

CODE:

clear all;clc

n=5000;   

k=linspace(-1000,5000,n);

y=(25-(3/25)*k).^2-9.8*k.*tanh((1/10)*k).*(1+(0.125e-2*(8+cosh(.4*k)-2*tanh(.1*k).^2))./sinh(.1*k).^4);

figure

plot(k,y,'b',[min(k) max(k)],[0 0],'r'),axis([min(k) max(k) min(y) max(y)]);

上述代碼中，n表示繪圖時散點的個數(shù)，n應(yīng)當(dāng)取為較大的數(shù)值，以防止漏解。
上述代碼結(jié)果如附圖3所示。從附圖3中可見，原方程在k<100，以及k=1000附近存在兩個解；此外，仔細觀察可見，在k=0左右的細微局部也存在解，將此局部放大如附圖4，可見在這細微局部內(nèi)，存在兩個解。

附圖3.png

附圖4.png

步驟2：求解
對于這種方程，MATLAB的fsolve函數(shù)可高效求解，根據(jù)步驟1.2中的分析，初值選為-0.1，0.1，100和1000，具體代碼如下：

CODE:

format long

[x fval]=fsolve(@(k) (25-(3/25)*k).^2-9.8*k.*tanh((1/10)*k).*(1+(0.125e-2*(8+cosh(.4*k)-2*tanh(.1*k).^2))./sinh(.1*k).^4),[-0.1,0.1,100,1000]  )

計算結(jié)果：

CODE:

x =

  1.0e+003 *

  -0.000419092354465   0.000420785261224   0.040837844386158   1.063205199210630

fval =

  1.0e-010 *

  -0.001136868377216  -0.001136868377216   0.388240550819319   0.272848410531878

至此，用MATLAB求得了原方程全部4個解。

當(dāng)然，上述求解過程也可用1stOpt實現(xiàn)，根據(jù)步驟1.2中的分析，通過限定未知數(shù)k取值范圍的辦法，可同樣求解4個解，具體的代碼有4段，分別如下：
限定k小于0：

CODE:

Parameters k[,0];

Function (25-(3/25)*k)^2-9.8*k*tanh((1/10)*k)*(1+(0.125e-2*(8+cosh(.4*k)-2*tanh(.1*k)^2))/sinh(.1*k)^4);

計算結(jié)果：

CODE:

目標(biāo)函數(shù)值: 1.13686837721616E-13

k: -0.419092354476606

限定k在[0，1]：

CODE:

Parameters k[0,1];

Function (25-(3/25)*k)^2-9.8*k*tanh((1/10)*k)*(1+(0.125e-2*(8+cosh(.4*k)-2*tanh(.1*k)^2))/sinh(.1*k)^4);

計算結(jié)果：

CODE:

目標(biāo)函數(shù)值: 1.13686837721616E-13

k: 0.420785261224372

限定k在[10，100]：

CODE:

Parameters k[10,100];

Function (25-(3/25)*k)^2-9.8*k*tanh((1/10)*k)*(1+(0.125e-2*(8+cosh(.4*k)-2*tanh(.1*k)^2))/sinh(.1*k)^4);

計算結(jié)果：

CODE:

目標(biāo)函數(shù)值: 0

k: 40.8378443861602

限定k>500：

CODE:

Parameters k[500,];

Function (25-(3/25)*k)^2-9.8*k*tanh((1/10)*k)*(1+(0.125e-2*(8+cosh(.4*k)-2*tanh(.1*k)^2))/sinh(.1*k)^4);

計算結(jié)果：

CODE:

目標(biāo)函數(shù)值: 1.81898940354586E-12

k: 1063.20519918986

2. 解個數(shù)較多的情況
對于解個數(shù)較多的情況，采用上述人工選取初值點的辦法將比較低效而且容易漏解，舉例如下：
求方程：y=sin(10*x)-log10(x) 的全部解（方程出處：http://www.gaoyang168.com/bbs/viewthread.php?tid=9425648&fpage=1）。
由于原方程形式很簡單，無需進一步檢查方程輸入的正誤，采用MATLAB可繪制該方程在[0，100]范圍內(nèi)的圖形（由于方程中對數(shù)的存在，x<0時，不存在實數(shù)解，故x<0的情況毋須考慮），代碼如下，結(jié)果如附圖5所示。

CODE:

clear all;clc

n=5000;

x=linspace(0,100,n);

y=sin(10*x)-log10(x);

figure

plot(x,y,'b',[min(x) max(x)],[0 0],'r');

附圖5.png
由附圖5可見，盡管原方程的曲線在縱軸方向劇烈震蕩，但在[0，10]之外的范圍不存在解，因此可進一步繪制[0，10]范圍內(nèi)的圖形，如附圖6所示。

附圖6.png
可看到，該方程解的個數(shù)極多，采用上述人工選取初值點的方法就難以實施了。對于這種情況，作者的思路是這樣的：從圖形上至少能觀察到這些解大概的取值范圍，在這取值范圍之內(nèi)廣“撒網(wǎng)”，取足夠多的初值，求出來的結(jié)果就能遍歷全部解。當(dāng)然由于選取初值的個數(shù)大于解的個數(shù)，求出來的結(jié)果中肯定會有重復(fù)的，在代碼中加一段去重的函數(shù)，即可將所有解求出來，具體的MATLAB代碼如下：

CODE:

clear all;clc

x=fsolve(@(x) sin(10*x)-log10(x),linspace(0.2,9.7,100));

x=round(1e6*x)/1e6;

x_answer=unique(x)

計算結(jié)果：

CODE:

x_answer =

  Columns 1 through 13

    0.3601    0.6064    0.9449    1.2669    1.5516    1.9135    2.1649    2.5552    2.7814    3.1945    3.3997    3.8322    4.0192

  Columns 14 through 26

    4.4690    4.6394    5.1052    5.2602    5.7410    5.8812    6.3767    6.5024    7.0123    7.1236    7.6482    7.7445    8.2845

  Columns 27 through 31

    8.3649    8.9219    8.9842    9.5621    9.6007

至此，求得了原方程全部的31個解（如果有興趣數(shù)一下附圖6中紅線和藍線交點的個數(shù)，會發(fā)現(xiàn)交點個數(shù)正是31）。

[ Last edited by 月只藍 on 2018-8-17 at 21:23 ]

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john222222

lijunyuan87

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1樓 2016-01-26 14:33:49

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lu_yu_lan

新蟲 (初入文壇)

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★
小木蟲: 金幣+0.5, 給個紅包，謝謝回帖

用OpenLu求解：

說明：Lu腳本對整數(shù)運算和實數(shù)運算是有區(qū)別的，故3/25寫成了3.0/25，其他類似。

1. 解個數(shù)較少的情況

CODE:

!!!using("luopt");

f(k)=(25-(3.0/25)*k)^2-9.8*k*tanh((1.0/10)*k)*(1+(0.125e-2*(8+cosh(.4*k)-2*tanh(.1*k)^2))/sinh(.1*k)^4);

iFind[@f];

發(fā)現(xiàn)3個解：
-0.4190923544648197    3.410605131648481e-013
0.4207852612243718       -1.13686837721616e-013
40.83784438616018       0.
3

使用optmax參數(shù)加大求解精度：

CODE:

!!!using("luopt");

f(k)=(25-(3.0/25)*k)^2-9.8*k*tanh((1.0/10)*k)*(1+(0.125e-2*(8+cosh(.4*k)-2*tanh(.1*k)^2))/sinh(.1*k)^4);

iFind[@f,optmax,300];

求得全部解：
-0.4190923544648196    -1.13686837721616e-013
0.4207852612243718       -1.13686837721616e-013
40.83784438616018       0.
1063.205199210628       1.818989403545857e-012
4

2. 解個數(shù)較多的情況

CODE:

!!!using("luopt");

f(x)=sin(10*x)-lg(x) ;

iFind[@f];

發(fā)現(xiàn)9個解：
0.3601157243768782       -5.551115123125783e-017
0.6064214141293833       -2.220446049250313e-016
0.9449377253677708       -5.273559366969494e-016
1.266930508628267       -1.110223024625157e-016
1.55160066324603       -7.771561172376096e-016
1.913526139727183       1.498801083243961e-015
2.164907697628906       -8.326672684688674e-016
2.555238085345417       -5.551115123125783e-016
3.399721564856651       8.881784197001252e-016
9

使用optmax參數(shù)加大求解精度：

CODE:

!!!using("luopt");

f(x)=sin(10*x)-lg(x) ;

iFind[@f,optmax,10000];

求得全部解：
0.3601157243768782       -5.551115123125783e-017
0.6064214141293833       -2.220446049250313e-016
0.9449377253677708       -5.273559366969494e-016
1.266930508628267       -1.110223024625157e-016
1.55160066324603       -7.771561172376096e-016
1.913526139727183       1.498801083243961e-015
2.164907697628906       -8.326672684688674e-016
2.555238085345417       -5.551115123125783e-016
2.781398223612919       3.885780586188048e-016
3.194461071000813       2.775557561562891e-015
3.399721564856651       8.881784197001252e-016
3.832208094483737       1.554312234475219e-015
4.019201851137966       6.994405055138486e-015
4.469016047883874       -2.331468351712829e-015
4.639443152869999       -2.220446049250313e-016
5.105216467504163       -2.442490654175344e-015
5.260182951108074       -1.332267629550188e-015
5.741042948060711       3.33066907387547e-016
5.881225293357182       -9.769962616701378e-015
6.376684609873521       -1.52433621281034e-013
6.502403275288452       -2.664535259100376e-015
7.012321721086956       -1.332267629550188e-015
7.123550557006736       3.441691376337985e-015
7.648162774282883       -2.664535259100376e-015
7.744467806033315       3.987921104453562e-013
8.284508976557957       -2.442490654175344e-015
8.364860078182078       -8.881784197001252e-016
8.921930291619619       5.551115123125783e-016
8.984161831936833       5.551115123125783e-016
9.562104170355372       -2.55351295663786e-015
9.600698824827939       -6.905742644391921e-011
31

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8樓2016-09-29 21:10:23

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5樓2016-01-27 19:14:03

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