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maojun1998銀蟲 (正式寫手)
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Methods in Nonlinear Analysis【Kung-Ching Chang】【已搜索，無(wú)置重】
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Contents 1 Linearization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Differential Calculus in Banach Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Frechet Derivatives and Gateaux Derivatives . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Nemytscki Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 High-Order Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Implicit Function Theorem and Continuity Method . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Inverse Function Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.3 Continuity Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3 Lyapunov–Schmidt Reduction and Bifurcation . . . . . . . . . . . . . . 30 1.3.1 Bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.3.2 Lyapunov–Schmidt Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.3.3 A Perturbation Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.3.4 Gluing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.3.5 Transversality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.4 Hard Implicit Function Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1.4.1 The Small Divisor Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.4.2 Nash–Moser Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2 Fixed-Point Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.1 Order Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.2 Convex Function and Its Subdifferentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.2.1 Convex Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.2.2 Subdifferentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.3 Convexity and Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.4 Nonexpansive Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 2.5 Monotone Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 2.6 Maximal Monotone Mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 VIII Contents 3 Degree Theory and Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3.1 The Notion of Topological Degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.2 Fundamental Properties and Calculations of Brouwer Degrees . 137 3.3 Applications of Brouwer Degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 3.3.1 Brouwer Fixed-Point Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 3.3.2 The Borsuk-Ulam Theorem and Its Consequences . . . . . 148 3.3.3 Degrees for S1 Equivariant Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . 151 3.3.4 Intersection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 3.4 Leray–Schauder Degrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 3.5 The Global Bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 3.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 3.6.1 Degree Theory on Closed Convex Sets . . . . . . . . . . . . . . . 175 3.6.2 Positive Solutions and the Scaling Method . . . . . . . . . . . . 180 3.6.3 Krein–Rutman Theory for Positive Linear Operators . . . 185 3.6.4 Multiple Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 3.6.5 A Free Boundary Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 3.6.6 Bridging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 3.7 Extensions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 3.7.1 Set-Valued Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 3.7.2 Strict Set Contraction Mappings and Condensing Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 3.7.3 Fredholm Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 4 Minimization Methods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 4.1 Variational Principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 4.1.1 Constraint Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 4.1.2 Euler–Lagrange Equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 4.1.3 Dual Variational Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 4.2 Direct Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 4.2.1 Fundamental Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 4.2.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 4.2.3 The Prescribing Gaussian Curvature Problem and the Schwarz Symmetric Rearrangement . . . . . . . . . . 223 4.3 Quasi-Convexity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 4.3.1 Weak Continuity and Quasi-Convexity . . . . . . . . . . . . . . . 232 4.3.2 Morrey Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 4.3.3 Nonlinear Elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 4.4 Relaxation and Young Measure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 4.4.1 Relaxations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 4.4.2 Young Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 4.5 Other Function Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 4.5.1 BV Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 4.5.2 Hardy Space and BMO Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 4.5.3 Compensation Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 4.5.4 Applications to the Calculus of Variations . . . . . . . . . . . . 274 Contents IX 4.6 Free Discontinuous Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 4.6.1 Γ-convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 4.6.2 A Phase Transition Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 4.6.3 Segmentation and Mumford–Shah Problem . . . . . . . . . . . 284 4.7 Concentration Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 4.7.1 Concentration Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 4.7.2 The Critical Sobolev Exponent and the Best Constants 295 4.8 Minimax Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 4.8.1 Ekeland Variational Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 4.8.2 Minimax Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 4.8.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 5 Topological and Variational Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 5.1 Morse Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 5.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 5.1.2 Deformation Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 5.1.3 Critical Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 5.1.4 Global Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 5.1.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 5.2 Minimax Principles (Revisited) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 5.2.1 A Minimax Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 5.2.2 Category and Ljusternik–Schnirelmann Multiplicity Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 5.2.3 Cap Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 5.2.4 Index Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 5.2.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 5.3 Periodic Orbits for Hamiltonian System and Weinstein Conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 5.3.1 Hamiltonian Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 5.3.2 Periodic Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 5.3.3 Weinstein Conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 5.4 Prescribing Gaussian Curvature Problem on S2 . . . . . . . . . . . . . 380 5.4.1 The Conformal Group and the Best Constant . . . . . . . . . 380 5.4.2 The Palais–Smale Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 5.4.3 Morse Theory for the Prescribing Gaussian Curvature Equation on S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 5.5 Conley Index Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 5.5.1 Isolated Invariant Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 5.5.2 Index Pair and Conley Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 5.5.3 Morse Decomposition on Compact Invariant Sets and Its Extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 References . . . . 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