一個比較特別的行列式
設a，b，c，d都是整數(shù)，且ad=bc，如果行列式：
[latex]det\begin{pmatrix}a&b&c&d\\b&3a&d&3c\\c&d&5a&5b\\d&3c&5b&15a\end{pmatrix}=0[/latex]
試證：a=b=c=d=0.
注：條件ad=bc是否可以取消？若可以取消請給出證明，否則請舉出反例。
[ Last edited by feixiaolin on 2014-4-25 at 13:56 ]
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京公網(wǎng)安備 11010802022153號
可視為分塊矩陣
|A B|
|B 5A|
行列式=|A|*|5A-B*A^(-1)*B|=0
條件是 |5A-B*A^(-1)*B|=0 而 |A|<>0
這里A不一定可逆呢，……不能這樣運算的，……
只要a=b=c=d，便可推出delt()=0;
為了求條件：
1. 假定A可逆; 比較繁瑣，未推求。
2. 假定A不可逆;
如果3a^2-b^2=0; 3c^2-d^2=0; delt()=0;
ad=bc 只是一個特例，ad+bc=0 亦可。
a=b=c=d是要證明的結(jié)論，怎么能拿來當條件使用呢？
fei大神, 我估計你被要證的結(jié)論或無關的條件 ad=bc誤導了.
要訣: 簡單!!! 暴力!!!
第一步: 由數(shù)學軟件可得, 行列式等于
[latex] (15a^2+5b^2-3c^2-d^2)^2- 3*2^2*(5ab-cd)^2 [/latex]
由于a,b,c,d都是整數(shù), 而 [latex]\sqrt{3} [/latex]是無理數(shù), 當行列式為零時, 當且僅當" 5ab=cd 并且 15a^2+5b^2 = 3c^2+d^2".
第二步, 不難看出, [latex] 5(\sqrt{3}a+b)^2 = (\sqrt{3}c+d)^2) [/latex]
換句話說, 如果 a,b不全為零的話, 就有 [latex] \sqrt{5} \in Q[\sqrt{3}] [/latex] 這種荒謬的事情.
所以只好 a=b=c=d=0.
同志哥，題目并不簡單！暴力行不通！
[latex]det\begin{pmatrix}a&b&c&d\\b&3a&d&3c\\c&d&5a&5b\\d&3c&5b&15a\end{pmatrix}\neq(15a^2+5b^2-3c^2-d^2)^2-3\times 2^2(5ab-cd)^2[/latex]
事實上，令a=b=c=d=1，我們就有：
[latex]det\begin{pmatrix}a&b&c&d\\b&3a&d&3c\\c&d&5a&5b\\d&3c&5b&15a\end{pmatrix}=32[/latex]
[latex](15a^2+5b^2-3c^2-d^2)^2-3\times 2^2(5ab-cd)^2=64[/latex]
兩者并不相等
，
請教大神，我用mathematic進行在線計算怎么沒有輸出呢？問題出在哪兒？
tupian001.jpg