一個(gè)比較特別的行列式
設(shè)a，b，c，d都是整數(shù)，且ad=bc，如果行列式：
[latex]det\begin{pmatrix}a&b&c&d\\b&3a&d&3c\\c&d&5a&5b\\d&3c&5b&15a\end{pmatrix}=0[/latex]
試證：a=b=c=d=0.
注：條件ad=bc是否可以取消？若可以取消請(qǐng)給出證明，否則請(qǐng)舉出反例。
[ Last edited by feixiaolin on 2014-4-25 at 13:56 ]
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京公網(wǎng)安備 11010802022153號(hào)
有圖有真相,
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，
哦，計(jì)算錯(cuò)誤，軟件不會(huì)用，用手工按你的思路驗(yàn)證計(jì)算了行列式，得到：
[latex]det\begin{pmatrix}a&b&c&d\\b&3a&d&3c\\c&d&5a&5b\\d&3c&5b&15a\end{pmatrix}[/latex]
[latex]=(15a^2-5b^2-3c^2+d^2)^2-60(ad-bc)^2[/latex]
以下計(jì)算會(huì)證了，條件ad=bc也是多余的，可以不要（是行列式等于零的必要條件），謝謝。
殊圖同歸，好樣的。
你的分解方法，用上了題設(shè)條件 ad=bc. 我的分解方式?jīng)]用上這個(gè)條件， 還以為你是在故意迷惑我們的呢。 沒(méi)想到是分解方式的分歧
我的分解也沒(méi)有用條件ad=bc
取c=-a=-1, d=-b=-sqrt(3), 使上面兩行成比例， 也可有delt()=0
取c=-a，d=-b，則
[latex]\begin{pmatrix}a&b&-a&-b\\b&3a&-b&-3a\end{pmatrix}[/latex]
這兩行不會(huì)成比例�。ǔ莂=b=0）
13#是對(duì)4# “2. 假定A不可逆”的補(bǔ)充，已編輯補(bǔ)足。
若 c=-a=-1, d=-b=-sqrt(3),
則行列式的最上面兩行為
1， sqrt(3)， -1， -sqrt(3)；
sqrt(3)， 3， -sqrt(3), -3;
比例值 sqrt(3)，故 delt()=0.
嗨，題目的前提條件是a，b，c，d都是整數(shù)，所以不可能取到
[latex]d=-b=-\sqrt{3}[/latex]