一道反常積分的習(xí)題
題目：試計(jì)算下面的反常積分：
[latex]\int_0^{+\infty}\frac{(\ln x)^2}{1+x^2}dx=?[/latex]
并由此推出下面的無窮級(jí)數(shù)恒等式：
[latex]\sum\limits_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{1}{(2n+1)^3}=\frac{\pi^3}{32}[/latex]
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并由此推出下面的無窮級(jí)數(shù)恒等式：
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京公網(wǎng)安備 11010802022153號(hào)
第一個(gè)反常積分 Ln x 如果沒有平方的話等于0，有平方不知道怎么算了
[latex]\dfrac{\pi^3}{8}[/latex]
求告知解題步驟
求過程。。。我就只會(huì)用級(jí)數(shù)來計(jì)算那個(gè)積分，不過好像級(jí)數(shù)不好求。我記得歐拉對這個(gè)級(jí)數(shù)給出過一個(gè)不嚴(yán)格的求法
可以嘗試先求解這個(gè)積分：
[latex]\int_0^1x^n\ln(x)^2{\rm d}x[/latex]
變量代換[latex]t=\dfrac{1}{x}[/latex]再試試。
同時(shí)考察
[latex]\dfrac{1}{1+x^2}[/latex]的級(jí)數(shù)形式
，
的確，難點(diǎn)在第二個(gè)問題。