一道反常積分的習題
題目：試計算下面的反常積分：
[latex]\int_0^{+\infty}\frac{(\ln x)^2}{1+x^2}dx=?[/latex]
并由此推出下面的無窮級數(shù)恒等式：
[latex]\sum\limits_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{1}{(2n+1)^3}=\frac{\pi^3}{32}[/latex]
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京公網(wǎng)安備 11010802022153號
用含參變量積分行不行？一個思路
樓主，你那個無窮級數(shù)的結果可以推廣到更一般的形式，是否能證明？
[latex]\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)^{2m+1}}=\frac{(-1)^m E_{2m}\pi^{2m+1}}{4^{m+1}(2m)!},m\in\mathbb{N}[/latex]
[latex]E_{2m}[/latex]是一個整數(shù)數(shù)列（歐拉數(shù)列）中的項，詳細定義參考維基：
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_number
你這個推廣對m=1就不成立，更別說一般的m了！
m=1時，你的級數(shù)等式為：
[latex]\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}=\frac{-1}{2\times 2!}\left(\frac{\pi}{2}\right)^3[/latex]
這里Euler數(shù)[latex]E_{2}=-1[/latex]
而我的級數(shù)等式為
[latex]\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}=\frac{\pi^3}{32}[/latex]
兩者差一個符號
，
我修正了。你再看看
看了，恒等式對m=0，m=1直接驗證可知成立，對于m>1如何驗證冷在思考中
你這個推廣是錯的，
m=0,m=1可以驗證是正確的
但是m=2時結果就不對
是你驗證錯了，左邊和右邊此時都是 [latex]\dfrac{5\pi^5}{1536}[/latex]
還是不明白 化成了級數(shù)形式，該如何求那個級數(shù)的和