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[求助] 關(guān)于一道積分不等式的猜想

如圖。第一，第四個(gè)可以驗(yàn)證他們的大小關(guān)系，其余的就不會(huì)了。請(qǐng)大神看看猜想是否正確，怎么證明？謝謝！

猜想積分不等式.png

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1樓 2016-02-28 14:08:25

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Edstrayer

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令 $f(n)=\int_0^nx^ne^{-x}dx$ ，則有

$\int_2^{+\infty}x^2e^{-x}dx=\int_0^{+\infty}x^2e^{-x}dx-\int_0^2x^2e^{-x}dx=\frac{10}{e^2}$

$\int_0^3x^2e^{-x}dx=2-\frac{17}{e^3}$

但是，我們有不等式：

$\frac{10}{e^2}>2-\frac{17}{e^3}$

所以就有：

$\int_2^{+\infty}x^2e^{-x}dx>\int_0^3x^2e^{-x}dx$

因此，不等式

$\int_n^{+\infty}x^ne^{-x}dx>\int_0^{n+1}x^ne^{-x}dx$

對(duì)n=2成立。

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2樓2016-02-29 01:31:15

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令 $f(n)=\int_0^nx^ne^{-x}dx$ ，則有

$\int x^ne^{-x}dx=-\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^kx^{n-k}\right)e^{-x}+Const$

所以就有：

$\int_0^nx^ne^{-x}dx=-\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^kn^{n-k}\right)e^{-n}+n!$

于是就有：

$\int_n^{+\infty}x^ne^{-x}dx=\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^kn^{n-k}\right)e^{-n}$

$\int_0^{n+1}x^ne^{-x}dx=-\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^k(n+1)^{n-k}\right)e^{-(n+1)}+n!$

因此證明不等式：

$\int_n^{+\infty}x^ne^{-x}dx>\int_0^{n+1}x^ne^{-x}dx$

就等價(jià)于證明不等式

$\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^k(n+1)^{n-k}>e\left(n!e^n-\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^kn^{n-k}\right)\right)$

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3樓2016-02-29 02:14:39

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然后又要怎么證明呢？

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4樓2016-02-29 08:55:24

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4樓: Originally posted by i維數(shù) at 2016-02-29 08:55:24
然后又要怎么證明呢？

化成的代數(shù)不等式，直接驗(yàn)證對(duì)n=1，2，3成立，曾經(jīng)考慮使用數(shù)學(xué)歸納法，但是歸納步驟通不過(guò)，所以歸納法行不通！能否使用e的冪級(jí)數(shù)展式呢？…………不知樓主是否有好的方法？

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5樓2016-03-01 00:28:01

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5樓: Originally posted by Edstrayer at 2016-03-01 00:28:01
化成的代數(shù)不等式，直接驗(yàn)證對(duì)n=1，2，3成立，曾經(jīng)考慮使用數(shù)學(xué)歸納法，但是歸納步驟通不過(guò)，所以歸納法行不通！能否使用e的冪級(jí)數(shù)展式呢？…………不知樓主是否有好的方法？...

我也沒(méi)什么辦法。。。比較第一第四個(gè)我是利用f(n+x)>f(n-x) 0<x<n,f(x)=x^n*e^(-x).利用e^x的積分型余項(xiàng)可以證得第一第四個(gè)不等式等價(jià)于1+n+n^2/2+...+n^n/n!>e^n/2,第二第三個(gè)等價(jià)于1+（n+1)+...+(n+1)^n/n!<(e^(n+1))/2.不知這樣是否好證

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6樓2016-03-01 00:42:03

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6樓: Originally posted by i維數(shù) at 2016-03-01 00:42:03
我也沒(méi)什么辦法。。。比較第一第四個(gè)我是利用f(n+x)>f(n-x) 0<x<n,f(x)=x^n*e^(-x).利用e^x的積分型余項(xiàng)可以證得第一第四個(gè)不等式等價(jià)于1+n+n^2/2+...+n^n/n!>e^n/2,第二第三個(gè)等價(jià)于1+（n+1)+...+(n ...

我試試

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7樓2016-03-01 00:53:01

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hank612

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http://www.ams.org/journals/proc ... -1994-1195477-8.pdf

這個(gè)問(wèn)題出乎意料地深刻，需要借助Ramanujan的某個(gè)不等式：
若 $\frac{e^n}{2}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{n^k}{k!}+\theta(n)\frac{n^n}{n!}$ , 則有
$\frac{1}{3}\leq \theta(n)\leq \frac{1}{2}$

上文作者 K.P. Choi 證明了圖片中的結(jié)論，這基本上就可以推出 @i維數(shù) 的三個(gè)不等式。具體推導(dǎo)我尚未完成，樓主不妨花點(diǎn)時(shí)間寫一下。

Emuch027 median of gamma distribution.png

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We_must_know. We_will_know.

8樓2016-07-08 12:37:34

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引用回帖:

8樓: Originally posted by hank612 at 2016-07-08 12:37:34
http://www.ams.org/journals/proc/1994-121-01/S0002-9939-1994-1195477-8/S0002-9939-1994-1195477-8.pdf

這個(gè)問(wèn)題出乎意料地深刻，需要借助Ramanujan的某個(gè)不等式：
若\frac{e^n}{2}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac ...

非常感謝hank612大神！

不等式證明.png

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9樓2016-07-12 01:04:05

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