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i維數(shù)

木蟲 (正式寫手)

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[求助] 關于一道積分不等式的猜想

如圖。第一，第四個可以驗證他們的大小關系，其余的就不會了。請大神看看猜想是否正確，怎么證明？謝謝！

猜想積分不等式.png

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1樓 2016-02-28 14:08:25

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i維數(shù)

木蟲 (正式寫手)

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然后又要怎么證明呢？

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4樓2016-02-29 08:55:24

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Edstrayer

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令 $f(n)=\int_0^nx^ne^{-x}dx$ ，則有

$\int_2^{+\infty}x^2e^{-x}dx=\int_0^{+\infty}x^2e^{-x}dx-\int_0^2x^2e^{-x}dx=\frac{10}{e^2}$

$\int_0^3x^2e^{-x}dx=2-\frac{17}{e^3}$

但是，我們有不等式：

$\frac{10}{e^2}>2-\frac{17}{e^3}$

所以就有：

$\int_2^{+\infty}x^2e^{-x}dx>\int_0^3x^2e^{-x}dx$

因此，不等式

$\int_n^{+\infty}x^ne^{-x}dx>\int_0^{n+1}x^ne^{-x}dx$

對n=2成立。

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2樓2016-02-29 01:31:15

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令 $f(n)=\int_0^nx^ne^{-x}dx$ ，則有

$\int x^ne^{-x}dx=-\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^kx^{n-k}\right)e^{-x}+Const$

所以就有：

$\int_0^nx^ne^{-x}dx=-\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^kn^{n-k}\right)e^{-n}+n!$

于是就有：

$\int_n^{+\infty}x^ne^{-x}dx=\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^kn^{n-k}\right)e^{-n}$

$\int_0^{n+1}x^ne^{-x}dx=-\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^k(n+1)^{n-k}\right)e^{-(n+1)}+n!$

因此證明不等式：

$\int_n^{+\infty}x^ne^{-x}dx>\int_0^{n+1}x^ne^{-x}dx$

就等價于證明不等式

$\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^k(n+1)^{n-k}>e\left(n!e^n-\left(\sum\limits_{k=0}^nk!C_n^kn^{n-k}\right)\right)$

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3樓2016-02-29 02:14:39

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引用回帖:

4樓: Originally posted by i維數(shù) at 2016-02-29 08:55:24
然后又要怎么證明呢？

化成的代數(shù)不等式，直接驗證對n=1，2，3成立，曾經(jīng)考慮使用數(shù)學歸納法，但是歸納步驟通不過，所以歸納法行不通！能否使用e的冪級數(shù)展式呢？…………不知樓主是否有好的方法？

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5樓2016-03-01 00:28:01

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