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liukaijack銀蟲 (小有名氣)
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[交流]
空間任意橢球被一平面切割，其截面，一定是橢圓，圓或者點(diǎn)嗎？【附個(gè)人解答】
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對于空間任意一個(gè)橢球，任意平面切割形成的截面，一定是個(gè)橢圓，圓或者點(diǎn)嗎？ 我的解答如下： 假設(shè)橢球的空間方程為：E(x,y,z)=Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0;此方程每一項(xiàng)的次數(shù)為：2次，1次或者0次（常數(shù)），最高次為2次； 假設(shè)任意平面方程為：P(x,y,z)=Kx+Ly+Mz+N=0; 則平面相交于橢球的交線方程為： L(x,y,z)=E(x,y,z)-P(x,y,z); 根據(jù)橢球空間方程每一項(xiàng)的階數(shù)為：2次，1次或者0次（常數(shù)），最高次為2次這一個(gè)條件，將交線方程L(x,y,z)化為二次型的標(biāo)準(zhǔn)型：L1(x1,y1,z1)=k1*x1^2+k2*y1^2+k3*z1^2+P=0這種形式（此方程要能畫出圖形，必須使得P為負(fù)數(shù)）。 根據(jù)所得到的交線方程L1(x,y,z)為二次型方程，就可以判斷出其為橢圓（k1, k2, k3兩兩均不相等），圓（k1, k2, k3兩兩均相等）。 但是，有個(gè)疑問，根據(jù)轉(zhuǎn)化后的二次型的標(biāo)準(zhǔn)型方程L1(x1,y1,z1)=k1*x1^2+k2*y1^2+k3*z1^2+P=0來看，這個(gè)圖形在空間中應(yīng)該為一個(gè)橢球或者球，而不是橢圓或者圓，這個(gè)該怎么解釋呢？ 謝謝。 [ Last edited by liukaijack on 2016-3-27 at 09:35 ] |
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liukaijack: 金幣+5 2016-03-29 03:47:22
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liukaijack: 金幣+5 2016-03-29 03:47:22
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用二次型在射影幾何中的幾何意義 射影幾何意義下二次型的坐標(biāo)變換 橢球面在不同方向的伸縮坐標(biāo)變換下總能變成一個(gè)球面的二次型（對應(yīng)于對角陣） 同樣的坐標(biāo)變換下，平面仍然是平面。平面跟球面的相交只有圓或點(diǎn)或無的可能； 把圓或點(diǎn)經(jīng)過反向坐標(biāo)變換得到的新的形狀，可能性有限。 在不改變特定的不改變無窮遠(yuǎn)點(diǎn)屬性的坐標(biāo)變換下，圓不可能變成拋物線、雙曲線。所以，還是圓或橢圓。 |
11樓2016-03-27 10:02:14
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