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[求助] 一個恒成立問題及其生成的幾個猜想已有1人參與

若 $(1+\frac{1}{n})^{n+\alpha }>\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}$ 對任意正整數(shù) $n$ 均成立，試證明 $\alpha$ 的最小值為 $\frac{1}{2}$ .由此猜想 $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}}\ln\left(\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\right)-n\right)=\frac{1}{2}$ , $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{3n^3}}\ln\left(\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\right)-n\right)=\frac{1}{2}$ ,試給出證明！謝謝！(第一次用Latex發(fā)帖，如有不足請指出

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1樓 2016-03-30 02:04:33

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$\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}}\ln\left(\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\right)-n\right)$

$=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{n}{2n-1}\left(2n\ln\left(\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\right)-2n+1\right)$

$=\lim\limits_{n\to+\infty}n\left(\ln\left(\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\right)-1\right)+\frac{1}{2}$

$=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\ln\left(\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\right)-1}{\frac{1}{n}}+\frac{1}{2}$

$=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\ln\left(1+\frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}}\right)}{-\frac{1}{n(n+1)}}+\frac{1}{2}$

$=\lim\limits_{n\to+\infty}-n(n+1)\frac{1}{(n+1)!\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}}+\frac{1}{2}$

$=0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

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3樓2016-03-30 12:14:15

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極限運用多次Stoze公式可以證明

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2樓2016-03-30 11:48:33

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3樓: Originally posted by Edstrayer at 2016-03-30 12:14:15
\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}}\ln\left(\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\right)-n\right)

=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{n}{2n-1}\left(2n\ln\left(\sum\limits_{k= ...

懂了，謝謝！

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4樓2016-03-30 12:50:52

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阿爾法最小為1／2是怎么證出來的

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我相信數(shù)學是來自神性的語言

5樓2016-03-30 13:20:46

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我來補充剩下的解答（見貼圖）

恒成立問題.png

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6樓2016-03-30 13:29:06

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5樓: Originally posted by 戀戀有心zxcv at 2016-03-30 13:20:46
阿爾法最小為1／2是怎么證出來的

見6樓

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7樓2016-03-30 13:29:34

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hylpy

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【答案】應助回帖

感謝參與，應助指數(shù) +1

嚴重支持用Latex發(fā)帖，不知怎的，題目看不到啊

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凡事，一笑而過。。。。。。

8樓2016-03-30 13:42:05

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8樓: Originally posted by hylpy at 2016-03-30 13:42:05
嚴重支持用Latex發(fā)帖，不知怎的，題目看不到啊

你清一下緩存試試？

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青蔥歲月圣誕夜，浪漫歌舞迎新年。

9樓2016-03-30 13:47:42

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8樓: Originally posted by hylpy at 2016-03-30 13:42:05
嚴重支持用Latex發(fā)帖，不知怎的，題目看不到啊

我之前也能看的，現(xiàn)在刷新一下好像也看不了了。。。

恒成立問題 .png

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10樓2016-03-30 13:49:13

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