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若 $(1+\frac{1}{n})^{n+\alpha }>\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}$ 對(duì)任意正整數(shù) $n$ 均成立，試證明 $\alpha$ 的最小值為 $\frac{1}{2}$ .由此猜想 $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}}\ln\left(\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\right)-n\right)=\frac{1}{2}$ , $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{3n^3}}\ln\left(\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\right)-n\right)=\frac{1}{2}$ ,試給出證明！謝謝！(第一次用Latex發(fā)帖，如有不足請(qǐng)指出

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1樓 2016-03-30 02:04:33

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6樓2016-03-30 13:29:06

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2樓2016-03-30 11:48:33

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$\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}}\ln\left(\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\right)-n\right)$

$=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{n}{2n-1}\left(2n\ln\left(\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\right)-2n+1\right)$

$=\lim\limits_{n\to+\infty}n\left(\ln\left(\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\right)-1\right)+\frac{1}{2}$

$=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\ln\left(\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\right)-1}{\frac{1}{n}}+\frac{1}{2}$

$=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\ln\left(1+\frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}}\right)}{-\frac{1}{n(n+1)}}+\frac{1}{2}$

$=\lim\limits_{n\to+\infty}-n(n+1)\frac{1}{(n+1)!\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}}+\frac{1}{2}$

$=0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

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3樓2016-03-30 12:14:15

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引用回帖:

3樓: Originally posted by Edstrayer at 2016-03-30 12:14:15
\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}}\ln\left(\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\right)-n\right)

=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{n}{2n-1}\left(2n\ln\left(\sum\limits_{k= ...

懂了，謝謝！

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4樓2016-03-30 12:50:52

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