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[求助] 幾個有關(guān)三角函數(shù)的極限

1. $\lim_{n \to \infty}{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n{|sin{kx}|}}$ 是否存在？存在的話是多少？（若 $x=1$ 好像會得到 $\frac{2}{\pi}$ ?如果把正弦換為余項又會怎樣？2. $\lim_{n \to \infty}{\frac{1}{\ln n}\sum_{k=1}^n{\frac{|sin{kx}|}{k}}}$ 是否存在？存在的話是多少？謝謝！

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1樓 2016-04-13 14:00:22

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9樓: Originally posted by lzu15zsx at 2016-04-17 23:48:00
“mod1一致分布”…
可以在華羅庚先生《數(shù)論導引》里找到一個較初等的證法。
...

感謝！關(guān)于mod1一致分布你還有什么書籍推薦嗎？繁體字看著比較困難。。。

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10樓2016-04-18 22:10:56

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$|\sin kx|\leqslant 1\Rightarrow\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n|\sin kx|\leqslant 1$

因此就有：

$\limsup\limits_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n|\sin kx|\leqslant 1$

怎么可能得到 $\pi$

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2樓2016-04-13 14:23:25

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2樓: Originally posted by Edstrayer at 2016-04-13 14:23:25
|\sin kx|\leqslant 1\Rightarrow\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n|\sin kx|\leqslant 1
因此就有：
\limsup\limits_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n|\sin kx|\leqslant 1
怎么可能得到\pi...

你看漏了一個2。。。是2/pi,不是pi

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3樓2016-04-13 14:30:34

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已用軟件計算到n=100000,應該就是他了

三角函數(shù)極限.jpg

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4樓2016-04-13 14:40:41

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0404600213

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貌似有點像定積分的定義式？

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5樓2016-04-13 14:50:37

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5樓: Originally posted by 0404600213 at 2016-04-13 14:50:37
貌似有點像定積分的定義式？

是看著像。。。

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6樓2016-04-13 14:56:42

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是不是等于 $\frac{1}{\pi}\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\int_0^{n\pi}|\sin x|dx}{n}=\frac{2}{\pi}$ ?

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7樓2016-04-13 16:11:07

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7樓: Originally posted by Edstrayer at 2016-04-13 16:11:07
是不是等于\frac{1}{\pi}\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\int_0^{n\pi}|\sin x|dx}{n}=\frac{2}{\pi}?

那么原極限為什么會等于這個呢？

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8樓2016-04-13 17:10:09

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8樓: Originally posted by i維數(shù) at 2016-04-13 17:10:09
那么原極限為什么會等于這個呢？
...

“mod1一致分布”…
可以在華羅庚先生《數(shù)論導引》里找到一個較初等的證法。

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9樓2016-04-17 23:48:00

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