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beefly專家顧問 (職業(yè)作家)
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物理學(xué)中尚未解決的積分，數(shù)學(xué)家們有啥辦法？ 已有6人參與
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在固體物理中會(huì)涉及以下形式的三重積分，其中被積函數(shù)是一個(gè)一般的二次多項(xiàng)式，積分范圍也涉及二次多項(xiàng)式。想得到積分的嚴(yán)格表達(dá)式，或者高精度的數(shù)值積分結(jié)果。 目前只有二維情況（去掉維度z）的解析積分是知道的，但是尚未見到三重積分的解析表達(dá)式，在實(shí)際計(jì)算中遇到這類問題，只能做近似，例如簡(jiǎn)化g(x,y,z)，把積分區(qū)域均勻分割成8塊，每一塊用一個(gè)線性多項(xiàng)式g'(x,y,z)=a1'+a2'*x+a3'*y+a4'*z去擬合g(x,y,z)，但是在計(jì)算金屬、半導(dǎo)體的時(shí)候，這么做會(huì)遇到問題。 本人也做過一些不成功的嘗試。例如，把g(x,y,z)替換為階梯函數(shù)，乘到f(x,y,z)上去，這樣積分范圍簡(jiǎn)單了，但是被積函數(shù)太復(fù)雜，無法進(jìn)行嚴(yán)格的積分。于是改做數(shù)值積分，用了從5階到8階的高斯積分，結(jié)果均不理想，還不如上面g(x,y,z)線性近似的方法準(zhǔn)。 001.png |
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2樓2016-04-28 16:27:05
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這個(gè)問題其實(shí)不難，我說一下框架吧。（其實(shí)這個(gè)問題在代數(shù)學(xué)中已經(jīng)解決了關(guān)鍵的部分） 解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是積分區(qū)域g(x,y,z)的規(guī)則表達(dá)，也就是代數(shù)學(xué)中的“二次型的標(biāo)準(zhǔn)化，具體做法如下： 第一步：通過坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)把交叉項(xiàng)（也就是xy,xz,yz項(xiàng))去掉，一次項(xiàng)不用管，自然累加就可以了。三維的旋轉(zhuǎn)角有兩個(gè)，計(jì)算有一定有難度，但一定能算出來，而且后面還要用---具體的內(nèi)容百度或者查（二次型或二次曲面方面的數(shù)學(xué)書） 第二步：通過配方法將上一步所得方程化為標(biāo)準(zhǔn)型，結(jié)果不外乎三種：橢球（包含球），雙曲型，拋物型。（如果是虛球，剛此積分無意義，不與考慮） 第三步：將前面0<x<1,0<y<1,0<z<1在旋轉(zhuǎn)的情況下算出新的取值范圍（只與旋轉(zhuǎn)角有關(guān)） 第四步：將被積函數(shù)f(x,y,z)在旋轉(zhuǎn)下用新的未知量替換，積分變量同步替換。 第五步：最標(biāo)準(zhǔn)的三重積分解法，本科二年級(jí)難度。 補(bǔ)充：算法二： 第一步：同上。 第二步：用球坐標(biāo)變換或柱坐標(biāo)變換將被積函數(shù)和積分區(qū)域同步變換。以下內(nèi)容相信本科的任何一本高數(shù)書上都有。 看起來困難，其實(shí)最關(guān)鍵的就是第一步---二次型的標(biāo)準(zhǔn)化。兩種算法都要用到這個(gè)。但這個(gè)內(nèi)容已經(jīng)是古典數(shù)學(xué)中較為成熟的東西，早已經(jīng)解決。如果第一步解決，其余步驟只是順其自然。 希望對(duì)你有所幫助。 |
3樓2016-04-29 10:41:05
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題目有不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤剑紫饶悴荒艽_定它圍成的空間是不是可以積分，這樣就像要通解是不是有點(diǎn)過早。其次，如果參數(shù)的不確定，也可能導(dǎo)致積分不出來，比如混沌出現(xiàn)。 發(fā)自小木蟲Android客戶端 |
5樓2016-04-29 16:23:05
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6樓2016-04-29 20:51:46
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