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i維數(shù)

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[求助] 求證一道涉及多項(xiàng)式的積分不等式

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1樓 2016-08-01 23:49:07

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2樓: Originally posted by Edstrayer at 2016-08-02 01:36:36
由于p_n(x)為n次代數(shù)多項(xiàng)式，根據(jù)代數(shù)基本定理可知，p_n(x)在上至多存在n個(gè)實(shí)零點(diǎn)，設(shè)a_i(i=1,2,\cdots,k)是p_n(x)在上的所有實(shí)零點(diǎn)，則k\leqslant n，于是就有：
\int_a^b|p_n^{'}(x)|dx=\int_a^{a_1}|p_n^{'}(x) ...

按照你的思路，修改一下，只要考慮pn'(x)的零點(diǎn)就行了。

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4樓2016-08-02 02:21:52

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Edstrayer

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由于 $p_n(x)$ 為n次代數(shù)多項(xiàng)式，根據(jù)代數(shù)基本定理可知， $p_n(x)$ 在[a,b]上至多存在n個(gè)實(shí)零點(diǎn)，設(shè) $a_i(i=1,2,\cdots,k)$ 是 $p_n(x)$ 在[a,b]上的所有實(shí)零點(diǎn)，則 $k\leqslant n$ ，于是就有：

$\int_a^b|p_n^{'}(x)|dx=\int_a^{a_1}|p_n^{'}(x)|dx+\int_{a_1}^{a_2}|p_n^{'}(x)|dx+\cdots+\int_{a_k}^b|p_n^{'}(x)|dx$

$\int_a^b|p_n^{'}(x)|dx=\pm\int_a^{a_1}p_n^{'}(x)dx\pm\int_{a_1}^{a_2}p_n^{'}(x)dx+\cdots\pm\int_{a_k}^bp_n^{'}(x)dx$

$\int_a^b|p_n^{'}(x)|dx=\pm(p_n(a_1)-p_n(a))\pm(p_n(a_2)-p_n(a_1))+\cdots\pm(p_n(b)-p_n(a_k))$

注意到 $\pm p_n(a),\pm p_n(b)\leqslant\max\limits_{x\in[a,b]}\{|p_n(x)|\},p_n(a_i)=0(i=1,2,\cdots,k)$ ，所以就有：

$\int_a^b|p_n^{'}(x)|dx=\pm p_n(a)\pm p_n(b)\leqslant 2\max\limits_{x\in[a,b]}\{|p_n(x)|\}\leqslant 2n\max\limits_{x\in[a,b]}\{|p_n(x)|\}$

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青蔥歲月圣誕夜，浪漫歌舞迎新年。

2樓2016-08-02 01:36:36

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我覺得你去絕對(duì)值那里是不對(duì)的。函數(shù)在兩個(gè)零點(diǎn)之間不可能會(huì)是單調(diào)的，所以導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有正也有負(fù)，那么絕對(duì)值是如何去掉的？

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3樓2016-08-02 02:15:45

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懂了，謝謝版主大人哈！

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5樓2016-08-02 02:26:33

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