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jiangdahai

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1樓 2016-11-19 13:19:59

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alober

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jiangdahai: 金幣+3 2016-11-20 16:34:47

$u=\sin t,du=\cos tdt$
$I/ab=\int_{0}^{1}u\sqrt{a^2u^2+b^2(1-u^2)}du=\frac{1}{2(a^2-b^2)}\int_{0}^{1}\sqrt{a^2u^2+b^2(1-u^2)}d(a^2u^2+b^2(1-u^2))=\frac{1}{2(a^2-b^2)}\int_{b^2}^{a^2}\sqrt{x}dx=\frac{1}{2(a^2-b^2)}\cdot\frac{2(a^3-b^3)}{3}=\frac{a^2+ab+b^2}{3(a+b)}$
因此 $I=\frac{ab(a^2+ab+b^2)}{3(a+b)}$

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2樓2016-11-19 14:33:48

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peterflyer

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jiangdahai: 金幣+1 2016-11-20 16:35:36

假使a＞=b＞0，令x=Sint，則:
原積分=Integral{a*b*x*sqrt[b^2+(a^2-b^2)*x^2]*dx, 0,1}
再令x=b/sqrt[(a^2-b^2)]*tany
原積分=a*b^3/sqrt(a^2-b^2)*Integral{Siny/(Cosy)^2*dy, 0,pai/4}
=a*b^3/sqrt(a^-b^2)*[1-1/sqrt(2)]

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3樓2016-11-20 11:13:48

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匿名

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4樓2016-11-20 12:30:58

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(a*b*(a^2+a*b+b^2))/(3*(a+b))，二樓正解

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5樓2016-11-21 15:44:45

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6樓2016-11-21 15:50:10

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7樓2016-11-24 07:14:22

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