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數(shù)學(xué)詭異新蟲 (小有名氣)
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集合論中一一對應(yīng)的邏輯錯(cuò)誤 已有7人參與
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集合論被譽(yù)為是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，而一一對應(yīng)則是集合論中的基礎(chǔ)工具。但，如果一一對應(yīng)這個(gè)基礎(chǔ)工具是有邏輯錯(cuò)誤的，那么就意味著，以集合論為基礎(chǔ)的的數(shù)學(xué)大廈便會(huì)徹底倒蹋。 一一對應(yīng)在集合論中的作用就是比較兩個(gè)集合的基數(shù)是不是相等的，對于有限集來說，很容易的就會(huì)比較出兩個(gè)集合的基數(shù)究竟哪個(gè)大哪個(gè)小，所以對于有限集來說，一一對應(yīng)這個(gè)工具是起不到什么實(shí)質(zhì)性的作用的，所以一一對應(yīng)主要還是用于比較兩個(gè)無限集的基數(shù)大小。 但用一一對應(yīng)來比較兩個(gè)無限集的大小時(shí)，便會(huì)出現(xiàn)很多違反人的直覺的結(jié)論，比如說：全體正整數(shù)與全體偶數(shù)相比較，哪個(gè)多？從直觀上來看，全體正整數(shù)不僅包含了全體偶數(shù)，而且還包含了全體奇數(shù)，那當(dāng)然是全體正整數(shù)比全體偶數(shù)多了，但用一一對應(yīng)這個(gè)工具做比較之后便會(huì)驚奇的發(fā)現(xiàn)：二者的基數(shù)居然是相等的。 那么一一對應(yīng)這個(gè)數(shù)學(xué)工具到底有沒有邏輯錯(cuò)誤呢？ 有，而且這個(gè)邏輯錯(cuò)誤非常的隱蔽，下面我就將這個(gè)邏輯錯(cuò)誤徹底的暴露出來： 我們還是以上面所提到的全體正整數(shù)與全體偶數(shù)的一一對應(yīng)來說明問題，它的一一對應(yīng)方法是這樣的：1對應(yīng)2，2對應(yīng)4，3對應(yīng)6，4對應(yīng)8，5對應(yīng)10……n對應(yīng)2n……，這個(gè)對應(yīng)法則就是：f(n)=2n，這樣看來，任何一個(gè)自然數(shù)n都有一個(gè)偶數(shù)2n相對應(yīng)，所以，每一個(gè)自然數(shù)都有一個(gè)偶數(shù)相對應(yīng)。 但問題是：自然數(shù)是無窮多的，如果你這么一個(gè)接一個(gè)的對應(yīng)驗(yàn)證下去，就算是對到天長地久，地老天荒也永永遠(yuǎn)遠(yuǎn)的對應(yīng)不完，你根本就無法驗(yàn)證后面究竟是不是有自然數(shù)沒有對應(yīng)到偶數(shù)。 所以現(xiàn)在我將這個(gè)問題做一下變換，讓這無窮多次的操做步驟在一分鐘的時(shí)間里全部完成：當(dāng)時(shí)間為1/2分鐘時(shí)，令1對應(yīng)2；當(dāng)時(shí)間為3/4分鐘時(shí)，令2對應(yīng)4；當(dāng)時(shí)間為7/8分鐘時(shí)，令3對應(yīng)6；當(dāng)時(shí)間為15/16分鐘時(shí)，令4對應(yīng)8……依此類推，可知，當(dāng)時(shí)間為1分鐘時(shí)，會(huì)進(jìn)行無窮多次操做，全體正整數(shù)與全體自然數(shù)的對應(yīng)工作全部完成。 由此便會(huì)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)間沒有到達(dá)1分鐘的任意一個(gè)時(shí)刻里，對應(yīng)到的都是有限的正整數(shù)部分，也就是全體正整數(shù)的對應(yīng)工作沒有全部完成，后面還有許許多多的正整數(shù)沒有對應(yīng)到，只有當(dāng)時(shí)間到達(dá)1分鐘時(shí)，所有的正整數(shù)與偶數(shù)的對應(yīng)工作才會(huì)全部完成。 但問題是：當(dāng)時(shí)間為1分鐘時(shí)，操做的是哪一個(gè)自然數(shù)與偶數(shù)的對應(yīng)？ 我們會(huì)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)間為1分鐘時(shí)，沒有正整數(shù)與偶數(shù)相對應(yīng)，因?yàn)榧僭O(shè)這個(gè)正整數(shù)存在，那么它就是最大的一個(gè)正整數(shù)，但我們知道，不存在最大的正整數(shù)，如果存在最大的正整數(shù)G，那么它對應(yīng)的偶數(shù)2G豈不是比G更大？ 所以矛盾就在這里：1分鐘之前，全體正整數(shù)與全體偶數(shù)的對應(yīng)工作沒有完成，而當(dāng)時(shí)間到達(dá)1分鐘時(shí)，在這1分鐘的時(shí)間點(diǎn)上，找不到哪一個(gè)正整數(shù)與偶數(shù)相對應(yīng)。 所以這便是集合論中一一對應(yīng)的致命矛盾。 |
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