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lxg6226新蟲 (初入文壇)
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[交流]
【交流】簡論牛頓力學(xué)的和拉格朗日力學(xué)幾何的差異性
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翻開大多數(shù)海內(nèi)外的一本中級理論物理學(xué)教材（即本科高年級和碩士低年級），都是簡要地回顧了一下牛頓力學(xué)（包括哈密頓力學(xué)在內(nèi)）和拉格朗日力學(xué)兩種力學(xué)的所謂的“物理學(xué)”差異性，幾乎從不論述它們二者的幾何學(xué)差別性。而有的美國教授豪瑟正確地說道，把在一個正交空間中展現(xiàn)的牛頓力學(xué)，放進兩個互為倒易的斜交空間重新表述出來的力學(xué)就是拉格朗日力學(xué)。可是，卻沒有把“牛頓力學(xué)和拉格朗日力學(xué)的幾何差別”陳述出來。 當然，在高等物理學(xué)的教材（碩士高年級和博士年級）中，很多國內(nèi)外的作者幾乎是清一色地把“牛頓力學(xué)和拉格朗日力學(xué)的差別”詮釋為“余切叢和切叢上的函數(shù)”（微分幾何中，一個微分流形的余切叢是流形每點的余切空間組成的向量叢；一個微分流形的切叢是一個由流形各點上切空間組成的向量叢，其總空間是各切空間的不相交的并集），固然這是正確滴�？墒�，切叢和余切叢的關(guān)系又是什么呢？呵呵，遺憾的是幾乎沒有一個專著明確指出和推導(dǎo)。 然而，更重要的問題卻是：“同一個物理學(xué)質(zhì)點的幾何模型，真的會有任何物理學(xué)上的差別嗎？”換言之，當我們選擇不同的數(shù)學(xué)幾何學(xué)來描述在光滑自由空間中同一個物理質(zhì)點的加速運動的時候，無疑地將產(chǎn)生數(shù)學(xué)上的形式差別，可是這會出現(xiàn)物理學(xué)上的本質(zhì)差別嗎？ 歐幾里德幾何學(xué)比較特殊，它是在笛卡爾正交坐標系里展開討論的。這是牛頓力學(xué)首選的數(shù)學(xué)模型，人人對它都耳熟能詳。碰巧的是，它的兩個左右共軛的空間恰好一模一樣，鏡像一般而無需任何區(qū)分。正是這個特點，讓我們覺得歐幾里德幾何學(xué)是在自然那不過的，并且直覺上感到這是很簡單、又很真實的幾何學(xué)。 歐幾里德幾何學(xué)是仿射幾何學(xué)的一個子幾何，它可以被稱作是“正交幾何學(xué)”；而仿射幾何學(xué)也可以稱作是“斜交幾何學(xué)”。顯而易見的是正交的歐幾里德幾何學(xué)是斜交的仿射幾何學(xué)的一個子幾何，因為假如坐標系的個坐標軸恰好是正交的——即彼此相互垂直的話，這時的仿射幾何學(xué)依舊是仿射幾何學(xué)，但是，同時還可以被稱作是歐幾里德幾何學(xué)了。 就一般情況下，仿射幾何學(xué)各個坐標軸之間呢，彼此都不相互垂直。這時的幾何學(xué)就不是歐幾里德幾何學(xué)了，而是仿射幾何學(xué)了。顯然，它要比歐幾里德幾何學(xué)復(fù)雜得多。能帶來更豐富的幾何學(xué)內(nèi)容，還必須引進很多歐幾里德幾何學(xué)一系列的名所沒有的但又是必需的很多幾何概念集。 首先，它的左共軛空間和右共軛空間很不相同，雙雙如影隨形，密不可分地緊緊關(guān)聯(lián)著，這種雙形式可以和歐幾里德幾何學(xué)有著形式上的某種特征的“相似性”！當然，左右兩個共軛空間也可以沒有任何相關(guān)聯(lián)地獨立描寫而單獨體現(xiàn)，這個時候，就會能凸顯出它和歐幾里德幾何學(xué)有著形式上的很大差異。 可是，令人遺憾的是，現(xiàn)有的很多教材卻沒有能夠讓我們的學(xué)生直觀地看清這個特點。我們以北大或者南開的數(shù)學(xué)系的本科一年級的“空間解析幾何學(xué)”為例的話，我們就會發(fā)現(xiàn)，這些國家教委認可的標準教材的缺陷很大，因為它們一律都沒有能正確地、完整地介紹仿射幾何學(xué)。它們呢，只是輕描淡寫了仿射幾何學(xué)的右空間的情形，對于共軛的左右兩個空間只字不談。 描述牛頓經(jīng)典力學(xué)的伽利略幾何學(xué)，在20世紀初葉才剛剛建立，初步確立起來了我們對伽利略幾何學(xué)的認識。但是這部分數(shù)學(xué)研究成果，在今天的經(jīng)典物理學(xué)中，還沒有充分的展現(xiàn)。這個不幸的歷史，造成了牛頓力學(xué)和拉格朗日力學(xué)的繼續(xù)分裂，值得注意的是，各種國內(nèi)外的中級力學(xué)和高級力學(xué)的碩博研究生的教材，所給出 的各種“從牛頓力學(xué)推導(dǎo)拉格朗日力學(xué)”的種種所謂的“推導(dǎo)”——沒有一個是正確的！切莫誤入歧途哦。 牛頓力學(xué)和拉格朗日力學(xué)的分裂，現(xiàn)有的這些幾何學(xué)是沒有能力來彌合的。怎么辦呢？這就需要我們來把仿射幾何學(xué)及其微積分和纖維叢幾何學(xué)及其纖維微積分，用創(chuàng)造性來加以完整化。從而填平牛頓力學(xué)和拉格朗日力學(xué)之間的大約近300年的歷史鴻溝——在幾何表述上嚴格證明二者是伽利略對偶幾何學(xué)上的一對力學(xué)。 謝謝 |
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無論是拉格朗日力學(xué)還是哈密頓力學(xué)，都屬于分析力學(xué)的范圍，而分析力學(xué)無疑是從變分原理（莫培督原理、費馬原理、達朗貝爾原理），通過強大的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，不局限于關(guān)于物理運動學(xué)的空間構(gòu)形而演繹出來的，她以動力學(xué)的觀點直切物理過程與其內(nèi)部的運行機制。從某種意義上講，她把物理拔高到一個全新的高度，所以在從經(jīng)典力學(xué)過度到量子力學(xué)的時候，總是想方設(shè)法找到系統(tǒng)的哈密頓量。 至于樓主所說的兩者幾何上的差異，源于對物體構(gòu)形空間的數(shù)學(xué)假設(shè)不同（認識自然界的能力和高度不同）。具體的基本數(shù)學(xué)假設(shè)和詳細的建構(gòu)過程，請參閱A.阿諾爾德的《經(jīng)典力學(xué)的數(shù)學(xué)方法》（有中譯本最新版，齊民友先生據(jù)老版本整理的）。非常、強烈的推薦�。�！ （以上純屬個人觀點，錯的地方請好心的蟲友們指出來�。� [ Last edited by 68377605 on 2009-6-14 at 13:07 ] |
5樓2009-05-28 12:36:03
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musi429(金幣+1,VIP+0):thanks~ 4-29 02:05
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2樓2009-04-28 23:57:53
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9樓2009-06-12 20:04:16
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10樓2009-06-12 20:06:16
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