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[交流] 【求助】看看這個(gè)積分，不知道是否有高人幫忙？已有4人參與

看看這個(gè)積分
$\int_0^t {{J_0}\left( x \right){e^{ - ax}}dx}$
其中
${{J_0}\left( x \right)}$
為0階Bessel函數(shù)，
$a>0, t>0$
為常數(shù)。

謝謝

[ Last edited by 小雨萌萌 on 2010-8-15 at 21:04 ]

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1樓 2010-08-12 22:31:43

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onesupeng

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wuguocheng(金幣+1):謝謝解答 2010-08-15 16:49:46

有一種辦法，就是把Bessel函數(shù)的函數(shù)寫出來，每一項(xiàng)就是A*x^{2k}*e^{-ax}的形式，分部積分幾次，即可得到級(jí)數(shù)形式的表達(dá)式。

不過意義已經(jīng)不大了

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長期招收博士生，參見http://fsl-unsw.com

2樓2010-08-12 23:48:05

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引用回帖:

Originally posted by onesupeng at 2010-08-12 23:48:05:
有一種辦法，就是把Bessel函數(shù)的函數(shù)寫出來，每一項(xiàng)就是A*x^{2k}*e^{-ax}的形式，分部積分幾次，即可得到級(jí)數(shù)形式的表達(dá)式。

不過意義已經(jīng)不大了

你說的是級(jí)數(shù)解法吧，不過你說的“意義不大”我不太知道是什么意思，哈哈

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3樓2010-08-13 23:20:07

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joyfox

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wuguocheng(金幣+2):謝謝解答 2010-08-15 16:49:26

當(dāng)t趨于無窮時(shí)，是Lipschitz's Integral
$\int_{0}^{\infty}e^{-ax}J_{0}(bx)dx=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}$

[ Last edited by joyfox on 2010-8-15 at 12:17 ]

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4樓2010-08-15 10:12:20

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引用回帖:

Originally posted by joyfox at 2010-08-15 10:12:20:
當(dāng)t趨于無窮時(shí)，是Lipschitz's Integral

[ Last edited by joyfox on 2010-8-15 ...

哈哈，這個(gè)結(jié)果非常有價(jià)值，哈哈。建議版主給多加點(diǎn)金幣。

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5樓2010-08-15 14:22:46

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Pchief

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小雨萌萌(金幣+1):謝謝解答 2010-08-15 21:04:25

原來樓主是要樓上這個(gè)結(jié)果啊，那么可以在拉普拉斯(Laplace)變換表里查到的。

我還奇怪呢，樓主所發(fā)的積分從哪來的，說是拉普拉斯變換吧，積分上限卻又不是＋∞，難道是所謂“不完全拉普拉斯變換”？

[ Last edited by Pchief on 2010-8-15 at 20:54 ]

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6樓2010-08-15 20:51:27

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引用回帖:

Originally posted by Pchief at 2010-08-15 20:51:27:
原來樓主是要樓上這個(gè)結(jié)果啊，那么可以在拉普拉斯(Laplace)變換表里查到的。

我還奇怪呢，樓主所發(fā)的積分從哪來的，說是拉普拉斯變換吧，積分上限卻又不是＋∞，難道是所謂“不完全拉普拉斯變換”？

[ Las ...

這個(gè)結(jié)果實(shí)際上和我的結(jié)果還是有一定差距的，但是有一定的道理�，F(xiàn)在的主要問題就是 t 不是趨向于無窮的，但是無窮的結(jié)果還是有較好的用處的。哈哈。

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7樓2010-08-15 21:08:05

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joyfox

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引用回帖:

在t為有限值時(shí)，級(jí)數(shù)展開是不錯(cuò)的思路，對(duì)于這個(gè)積分，bessel函數(shù)采用三角級(jí)數(shù)展開較好
參考"Physical applications of a simple approximation of Bessel functions of integer order" http://dx.doi.org/10.1088/0143-0807/28/5/021
0階bessel函數(shù)可以近似為如下有限項(xiàng)三角級(jí)數(shù)和

指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的乘積的積分不難得到
${\int}e^{ax}\cos(bx)dx=\frac{a\cos(bx)+b\sin(bx)}{a^2+b^2}e^{ax}$

從而可以近似得到t為有限值時(shí)的積分近似值

bessel函數(shù)的另一種三角級(jí)數(shù)展開可參考
"Trigonometric Approximations for Some Bessel Functions"
http://www.hindawi.com/journals/apec/1999/015810.abs.html

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8樓2010-08-16 15:17:49

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引用回帖:

Originally posted by joyfox at 2010-08-16 15:17:49:

在t為有限值時(shí)，級(jí)數(shù)展開是不錯(cuò)的思路，對(duì)于這個(gè)積分，bessel函數(shù)采用三角級(jí)數(shù)展開較好
參考"Physical applications of a simple approximation of Bessel functions of integer order" [url]http ...

That is perfect! Thx

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9樓2010-08-16 16:04:50

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