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xjw0413銅蟲 (初入文壇)
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【討論】預(yù)調(diào)件共軛梯度法（PCG） 已有4人參與
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有限元計(jì)算經(jīng)常碰到大型稀疏矩陣，由于此類線性方程組通常條件數(shù)是比較大的，方程組的性態(tài)不好，所以最好用迭代方法求解，比方說是預(yù)調(diào)件共軛梯度法，但此方法在選擇預(yù)調(diào)件矩陣時似乎沒有一個同一的標(biāo)準(zhǔn)，大多推薦的是采用incomplete LU decomposition做為預(yù)調(diào)件矩陣。incomplete LU decomposition的計(jì)算方法似乎又有很多種。 1. incomplete LU decomposition 的計(jì)算時間應(yīng)該比 LU decomposition要快速的多吧，不然直接用LU decomposition不就解出來了嗎，又何必再來PCG迭代呢？ 2. 采用PCG方法的前提應(yīng)該是系數(shù)矩陣對稱、正定吧，因?yàn)槠湓硎且粋�相當(dāng)于勢函數(shù)的東西取極小值。那對于非正定的系數(shù)矩陣能求解嗎，我構(gòu)造了幾個非正定的，有的似乎是能夠收斂到正確結(jié)果的。 希望各位蟲用解答和討論。 |
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27樓2011-11-14 10:10:48
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49樓2012-09-02 14:29:27
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2樓2010-09-06 22:58:01
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3樓2010-09-07 14:04:33
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lovibond(金幣+1): 鼓勵耐心交流 2011-06-18 10:35:05
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在特定精度下終止程序?qū)嶋H上就是在一定的子空間內(nèi)取得了解的近似。我的意思是你得到看似正確的解可能是因?yàn)檫@個子空間還沒有包含任何系數(shù)矩陣的負(fù)曲率方向，這種情況下能得到滿足精度要求的一個近似解似乎也很自然。一旦偵測到一個負(fù)的方向，迭代序列很可能因此發(fā)散。具體的表現(xiàn)是什么，還是需要比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐茖?dǎo)�？傊@種情況下用CG得到的結(jié)果是沒有說服力的，這個不是改變終止準(zhǔn)則就能修正的。 |
4樓2010-09-07 16:06:00
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5樓2011-06-14 10:37:26
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6樓2011-06-15 03:32:09
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7樓2011-06-15 08:57:22
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通常意義下的PCG，preconditioner只要求對稱正定，這里的CC(i)只要都是正數(shù)，顯然P可以用作preconditioner。但是需要知道的是，對于不同的線性方程組，preconditioner只能依照系數(shù)矩陣來做具體的選擇。這里為什么這么用，針對這個代碼要解決的問題，你可以看看P的應(yīng)用有沒有達(dá)到這樣的效果： (1) 使系數(shù)矩陣的特征值聚集； (2) 改善條件數(shù)。 因?yàn)镻是個簡單的對角矩陣，除非系數(shù)矩陣也近似于相關(guān)的對角矩陣，否則，我更偏向于(2)。 另外，你可以讓P=I（單位矩陣），這樣PCG就變成標(biāo)準(zhǔn)CG了，可以對比一下，這個P有沒有改善你的計(jì)算結(jié)果。 |
8樓2011-06-18 00:29:42
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9樓2011-06-18 08:58:08
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注意一點(diǎn)，通常選擇preconditioner的時候一個常規(guī)的做法就是選擇一個系數(shù)矩陣的近似，這樣的話，條件預(yù)優(yōu)后得到的矩陣就會接近于單位矩陣。 假定使用LU分解，然后用L和U的乘積作為P，那么實(shí)際上就是就是用系數(shù)矩陣自身作為P，亦即條件預(yù)優(yōu)后的矩陣嚴(yán)格地等于單位矩陣。這是最理想的情況，但是，事實(shí)上這么做沒有任何意義，因?yàn)橐呀?jīng)有LU分解，那么可以直接用這個分解求解原方程組，只需要簡單的向前向后代入就足夠，無需使用CG這樣的迭代方法。 這里使用ILU（不完全的LU分解）是因?yàn)長U分解代價(jià)太大，尤其是對于大規(guī)模線性方程組而言。ILU分解得到的L和U作乘積之后可以充當(dāng)系數(shù)矩陣的近似，按照之前所說的，也就是P的一種理想選擇。 你可以看看ILU分解的具體做法，Yousef Saad的Iterative methods for sparse linear systems一書里面有專門的章節(jié)介紹，有空可以看看。這是本很好的書，在作者的個人主頁可以直接下載（http://www-users.cs.umn.edu/~saad/PS/all_pdf.zip）。 |
10樓2011-06-18 15:21:12
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