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xjw0413銅蟲 (初入文壇)
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[交流]
【討論】預(yù)調(diào)件共軛梯度法（PCG） 已有4人參與
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有限元計(jì)算經(jīng)常碰到大型稀疏矩陣，由于此類線性方程組通常條件數(shù)是比較大的，方程組的性態(tài)不好，所以最好用迭代方法求解，比方說(shuō)是預(yù)調(diào)件共軛梯度法，但此方法在選擇預(yù)調(diào)件矩陣時(shí)似乎沒(méi)有一個(gè)同一的標(biāo)準(zhǔn)，大多推薦的是采用incomplete LU decomposition做為預(yù)調(diào)件矩陣。incomplete LU decomposition的計(jì)算方法似乎又有很多種。 1. incomplete LU decomposition 的計(jì)算時(shí)間應(yīng)該比 LU decomposition要快速的多吧，不然直接用LU decomposition不就解出來(lái)了嗎，又何必再來(lái)PCG迭代呢？ 2. 采用PCG方法的前提應(yīng)該是系數(shù)矩陣對(duì)稱、正定吧，因?yàn)槠湓硎且粋�(gè)相當(dāng)于勢(shì)函數(shù)的東西取極小值。那對(duì)于非正定的系數(shù)矩陣能求解嗎，我構(gòu)造了幾個(gè)非正定的，有的似乎是能夠收斂到正確結(jié)果的。 希望各位蟲用解答和討論。 |
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saladin983
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小木蟲(金幣+0.5):給個(gè)紅包，謝謝回帖
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關(guān)于二范數(shù)的這個(gè)，你的理解完全正確。下面這一個(gè)，實(shí)際上就是同一準(zhǔn)則的無(wú)窮范數(shù)版本。 一般迭代法的程序?qū)崿F(xiàn)都會(huì)設(shè)定迭代步數(shù)上限，這個(gè)是合理的。系數(shù)矩陣對(duì)稱正定的線性方程組，可以證明共軛梯度法只需要最多n步（n是方程未知量個(gè)數(shù)）就能求得方程的解。既然有這樣的理論結(jié)果，那么設(shè)定一個(gè)相應(yīng)的迭代步數(shù)上限時(shí)很自然的。 事實(shí)上還有這樣的情況，Krylov類的迭代法通常因?yàn)橛糜诖笠?guī)模問(wèn)題的求解，過(guò)多的迭代步數(shù)是不可接受的，因?yàn)槊恳徊降牡际蔷薮蟮挠?jì)算量。舉個(gè)例子，一個(gè)簡(jiǎn)單定義在三維立方體上的熱方程（heat equation), 在每個(gè)維度上取10個(gè)離散點(diǎn)，另外時(shí)間軸上也取十個(gè)時(shí)間點(diǎn)，那么需要求解的線性方程就有一萬(wàn)個(gè)未知量，這個(gè)離散程度顯然是很低的。實(shí)際的問(wèn)題中，幾十萬(wàn)幾百萬(wàn)的未知量恐怕也只能算入門級(jí)，更何況有時(shí)候這樣的問(wèn)題是需要反復(fù)計(jì)算的，代價(jià)很大，所以即便理論上你可以用迭代法求解，但是需要的步數(shù)過(guò)多，運(yùn)算時(shí)間超出可承受的范圍，也是被認(rèn)為是失敗的。這個(gè)時(shí)候設(shè)定迭代步數(shù)的上限實(shí)際上的作用是告訴我們，算法失敗了，而非迭代完成。還有些算法，比如GMRES，過(guò)多的迭代步數(shù)，可能會(huì)導(dǎo)致內(nèi)存不足，這也是必須限制迭代步數(shù)的原因之一。 現(xiàn)在你應(yīng)該可以明白，迭代步數(shù)上限并非終止準(zhǔn)則，而是被用作觀察算法是否有效收斂的一個(gè)指標(biāo)。 PS: 可否告知你的專業(yè)背景和CG類方法的大致應(yīng)用方向？回帖或者站內(nèi)短消息…… [ Last edited by saladin983 on 2011-11-14 at 16:01 ] |
30樓2011-11-14 21:59:45
saladin983
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2樓2010-09-06 22:58:01
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3樓2010-09-07 14:04:33
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小木蟲(金幣+0.5):給個(gè)紅包，謝謝回帖交流
lovibond(金幣+1): 鼓勵(lì)耐心交流 2011-06-18 10:35:05
小木蟲(金幣+0.5):給個(gè)紅包，謝謝回帖交流
lovibond(金幣+1): 鼓勵(lì)耐心交流 2011-06-18 10:35:05
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在特定精度下終止程序?qū)嶋H上就是在一定的子空間內(nèi)取得了解的近似。我的意思是你得到看似正確的解可能是因?yàn)檫@個(gè)子空間還沒(méi)有包含任何系數(shù)矩陣的負(fù)曲率方向，這種情況下能得到滿足精度要求的一個(gè)近似解似乎也很自然。一旦偵測(cè)到一個(gè)負(fù)的方向，迭代序列很可能因此發(fā)散。具體的表現(xiàn)是什么，還是需要比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐茖?dǎo)�？傊@種情況下用CG得到的結(jié)果是沒(méi)有說(shuō)服力的，這個(gè)不是改變終止準(zhǔn)則就能修正的。 |
4樓2010-09-07 16:06:00
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