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xjw0413銅蟲 (初入文壇)
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[交流]
【討論】預(yù)調(diào)件共軛梯度法（PCG） 已有4人參與
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有限元計(jì)算經(jīng)常碰到大型稀疏矩陣，由于此類線性方程組通常條件數(shù)是比較大的，方程組的性態(tài)不好，所以最好用迭代方法求解，比方說是預(yù)調(diào)件共軛梯度法，但此方法在選擇預(yù)調(diào)件矩陣時(shí)似乎沒有一個(gè)同一的標(biāo)準(zhǔn)，大多推薦的是采用incomplete LU decomposition做為預(yù)調(diào)件矩陣。incomplete LU decomposition的計(jì)算方法似乎又有很多種。 1. incomplete LU decomposition 的計(jì)算時(shí)間應(yīng)該比 LU decomposition要快速的多吧，不然直接用LU decomposition不就解出來了嗎，又何必再來PCG迭代呢？ 2. 采用PCG方法的前提應(yīng)該是系數(shù)矩陣對(duì)稱、正定吧，因?yàn)槠湓硎且粋�(gè)相當(dāng)于勢函數(shù)的東西取極小值。那對(duì)于非正定的系數(shù)矩陣能求解嗎，我構(gòu)造了幾個(gè)非正定的，有的似乎是能夠收斂到正確結(jié)果的。 希望各位蟲用解答和討論。 |
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saladin983
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小木蟲: 金幣+0.5, 給個(gè)紅包，謝謝回帖
小雨萌萌: 金幣+5, 3Q 2012-09-03 13:01:48
小木蟲: 金幣+0.5, 給個(gè)紅包，謝謝回帖
小雨萌萌: 金幣+5, 3Q 2012-09-03 13:01:48
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就是你所說的先求解(5)式，得到y(tǒng)之后，再求解(4)式，這里因?yàn)長和U都是三角矩陣，直接求解的計(jì)算量很小，求解y和x的時(shí)候，按順序計(jì)算各個(gè)分量即可，這里是不需要使用CG法。之前說的兩個(gè)相關(guān)的方程組，就是指可以輕易地直接求解的（5）和（4）式。 事實(shí)上，P的應(yīng)用，就是求解一個(gè)形如Py=r的方程組，這里也可以用其它的辦法，ILU是一種比較廉價(jià)的做法，也經(jīng)常見用（代數(shù)）多重網(wǎng)格法。還有些時(shí)候，構(gòu)造出來的P可能會(huì)有特殊結(jié)構(gòu)，使得Py=r非常易解，比如P是三對(duì)角矩陣。 你的理解有些偏差。CG法里應(yīng)用preconditioner所需要的不一定是顯式的P，算法里事實(shí)上只用到Py=r里的y，這個(gè)y總是用盡可能低廉的算法達(dá)到合適的精度，這里如何求解y會(huì)比較需要經(jīng)驗(yàn)。CG求解的是Ax=b這個(gè)方程組，而如果利用precondioner的話，CG算法的每一步都要求解一個(gè)Py=r的線性方程組，這是兩個(gè)不同的層級(jí)。在Py=r這個(gè)級(jí)別上，對(duì)于算法的高效性要求更高，而對(duì)精度的要求相對(duì)要低點(diǎn)，所以才會(huì)容許使用ILU分解這種近似算法。當(dāng)然，你也可以直接用CG方法求解Py=r到適當(dāng)?shù)木�，但是這個(gè)時(shí)候，這里的CG法和求解Ax=b的CG法已經(jīng)是一個(gè)嵌套的關(guān)系了。 |
40樓2012-08-06 00:24:28
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2樓2010-09-06 22:58:01
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3樓2010-09-07 14:04:33
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小木蟲(金幣+0.5):給個(gè)紅包，謝謝回帖交流
lovibond(金幣+1): 鼓勵(lì)耐心交流 2011-06-18 10:35:05
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lovibond(金幣+1): 鼓勵(lì)耐心交流 2011-06-18 10:35:05
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在特定精度下終止程序?qū)嶋H上就是在一定的子空間內(nèi)取得了解的近似。我的意思是你得到看似正確的解可能是因?yàn)檫@個(gè)子空間還沒有包含任何系數(shù)矩陣的負(fù)曲率方向，這種情況下能得到滿足精度要求的一個(gè)近似解似乎也很自然。一旦偵測到一個(gè)負(fù)的方向，迭代序列很可能因此發(fā)散。具體的表現(xiàn)是什么，還是需要比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐茖?dǎo)�？傊@種情況下用CG得到的結(jié)果是沒有說服力的，這個(gè)不是改變終止準(zhǔn)則就能修正的。 |
4樓2010-09-07 16:06:00
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