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zhangguangping木蟲 (著名寫手)
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【求助】關(guān)于周期性結(jié)構(gòu)矩陣元構(gòu)建細(xì)節(jié)【完結(jié)】 已有2人參與
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請教的問題是Quantum Transport Atom To Transistor（Datta S.）（全書下載地址：http://www.gaoyang168.com/bbs/viewthread.php?tid=2084009&fpage=1）書中的一個(gè)細(xì)節(jié)，在第五章關(guān)于能帶的介紹中，從一維均勻情況，到二聚化情況，舉陣元的構(gòu)建還都能看懂，但是推廣到三維的時(shí)候，對矩陣元的構(gòu)造就不是很清楚了。 我抽取了第五章的相關(guān)部分：http://d.namipan.com/d/%e9%a1%b5 ... 3cae51b50e757e00200。    書中說Hnm是聯(lián)系N原胞和周圍的M原胞（這個(gè)地方是指的一個(gè)還是所有的周圍原胞啊？）的矩陣元，并且說這個(gè)矩陣元是b*b維的，b是一個(gè)原胞中的基矢的數(shù)量。問題是，每一個(gè)矩陣元的表示形式是什么啊？如果還是和一維的情況一樣，用任意的兩個(gè)基函數(shù)去對H做內(nèi)積，那么這個(gè)矩陣的維度應(yīng)該和周圍的原胞的數(shù)量有關(guān)系吧？如果是Hnm表示的是只與周圍的最近鄰的一個(gè)原胞的相互作用，這個(gè)是b*b維的，并且認(rèn)為次近鄰的兩個(gè)原胞之間矩陣元為0（緊束縛近似）。那么為甚文中Consider any particular unit cell n (Fig. 5.2.1) connected to its neighboring unit cells m by a matrix [Hnm] of size (b×b), b being the number of basis functions per unit cell. 我對這個(gè)短話的理解是：原胞n與周圍相鄰的（所有的）M原胞之間的相互作用可以用一個(gè)b*b維的矩陣表示。 >>這樣理解是正確的。 如果理解成Hnm是N與周圍的一個(gè)緊鄰原胞之間的相互作用,正好是b*b的， 剩下的就是要想解決這個(gè)固體的能帶，需要寫出這個(gè)周期體系的矩陣，那么整個(gè)矩陣是個(gè)什么形式？ 是把包圍N原胞的周圍的所有最近鄰的M都要寫在這個(gè)矩陣中嗎？ 假如就像5.1.2圖中所示，N周圍就4個(gè)M，是不是H可以寫成H11 H12 H13 H14 H15 H21 H22 H23 H24 H25 H31 H32 H33 H34 H35 H41 H42 H43 H44 H45 H51 H52 H53 H54 H55 每一個(gè)Hnm都是一個(gè)b*b的矩陣，對角的位置是每一個(gè)原胞（現(xiàn)在總共有5個(gè)原胞，4個(gè)M（其實(shí)M和N也是等價(jià)的，周期性的結(jié)果），一個(gè)N）內(nèi)部的相互作用，次對角位置是這5個(gè)原胞中每兩個(gè)之間的相互作用矩陣，如果是最近鄰的，那么就會(huì)有不為零的矩陣元，如果不是，那么那個(gè)矩陣塊的矩陣元全部為零。 如果是這樣的話，這個(gè)矩陣的本征值就是b*5個(gè)，而不是b個(gè)了。 >>這個(gè)矩陣形式是錯(cuò)誤的。 難道H=ΣHnm,這個(gè)就是一個(gè)b*b的矩陣了。 >>這個(gè)是正確的。 關(guān)于5.2.1式，把求和號(hào)寫開，（假如N在上面的編號(hào)是1的話）H11{Φ1}+H12{Φ2}+H13{Φ3}+H14{Φ4}+H15{Φ5}=E{Φ1}，其中{Φi}表示第幾個(gè)原胞中的全部基函數(shù)，是一個(gè)b*1的列陣。 這個(gè)就有點(diǎn)象格點(diǎn)表象里面的薛定諤方程： (Un + 2t0)ψn - t0ψn-1 - t0ψn+1 = Eψn 注：關(guān)于能帶的理論在固體物理上有比較詳細(xì)的講解，但是大多都是從解析的辦法做的。這本書中是從矩陣的角度講解的。雖然兩者是等價(jià)的，但是還是有點(diǎn)不習(xí)慣，并且矩陣的講解，更接近實(shí)際計(jì)算的形式。對理解程序中具體的計(jì)算流程比較有用。 推薦大家看一下這本教材。非常不錯(cuò)，尤其是對以前的量子力學(xué)也是一個(gè)很好的回顧，并且datta能給你一個(gè)對以前量子力學(xué)中很多概念的全新觀點(diǎn)，當(dāng)然有可能這些觀點(diǎn)以前自己已經(jīng)建立了。 整本書的講述采用矩陣力學(xué)的辦法，與編程運(yùn)算比較接近。 [ Last edited by zhangguangping on 2010-10-5 at 01:50 ] |
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