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wshb0601金蟲 (小有名氣)
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[交流]
【求助】求助一個小球與箱子的問題，大家?guī)兔λ阋幌赂怕蔥結(jié)束]
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有256個不同的小球，256個箱子，每一個小球隨機的放入一個箱子中，問，256個小球都放完后，每一個箱子中的球數(shù)目都是偶數(shù)的概率？ 因為數(shù)字實在太大，一個一個組合計算太困難，不知道有沒有一個逼近公式可以計算這個問題，或者有其他的思路沒？謝謝各位 [ Last edited by wshb0601 on 2010-10-28 at 08:42 ] |
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oliyiyi
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wshb0601(金幣+1):謝謝參與
wuguocheng(金幣+4):謝謝. 是否愿意擔任數(shù)學版主. 可以和我聯(lián)系 2010-10-22 19:15:13
wuguocheng(數(shù)學EPI+1):授予EPI一枚 2010-10-22 19:15:37
wshb0601(金幣+1):謝謝參與
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it seems not difficult! P=(C^2_256)*(256^^178)/(256^^256) 思路： 把256個球兩兩配對共C^2_256種可能，然后吧178對球隨機投入到256個箱子中。 至于計算 用隨便一個數(shù)學軟件即可，或者用斯特林公式逼近階乘用計算器手算！ [ Last edited by oliyiyi on 2010-10-22 at 11:54 ] |
2樓2010-10-22 11:51:38
wshb0601
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wuguocheng:學懂了就好, 有機會常來. 2010-10-22 19:16:05
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我覺得這個思路很好，但是計算是有問題的 根據(jù)所給定公式（128對），我用maple算了一下概率是1.81×10^(-304)；這個概率顯然有問題，可以跟這個問題的一種特殊情況對比一下。 假設(shè)這256個球恰好被放入了128個箱子，每個箱子兩個球，那么 箱子選擇數(shù)目：C(256,128) （256個中選128個）,然后 第一個箱子球選法:C(256,2); 第二個箱子球的選法：C(254,2); ..... 最好一個箱子放最后兩個球； 這種情況概率為：P=C(256,128)*C(256,2)*...*C(2,2)/256^(256)約為4.5×10^(-73) 已經(jīng)比上面給出的結(jié)果大了，這還是其中一種情況，而且還有127個箱子...等情形，概率和加起來絕對會更大一些。 |
3樓2010-10-22 15:20:29
wormer
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4樓2010-10-23 12:52:13
wormer
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5樓2010-10-23 12:56:22
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6樓2010-10-25 09:11:22
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wshb0601(金幣+1):謝謝參與
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我也有個想法~~~ 我們認為256個球是沒有區(qū)別的，（雖然問題上說256個球是不同，但是不同和相同應(yīng)該不會影響到最后的概率結(jié)果）于是將256個球排成一條直線，然后用255個隔板將球分成256個集合，那么每個隔板插入點必須是偶數(shù)點，也就是它左邊和右邊的球數(shù)都必須是偶數(shù)個， 于是我們可以把問題歸結(jié)為，這255個隔板都插在偶數(shù)點的概率是多大 然后總插入點為257個（包括左右端點），偶數(shù)點有129個，所以該問題的最后概率為 （129/257）^255 應(yīng)該沒什么問題吧？  [ Last edited by lixy1217 on 2010-10-25 at 11:05 ] |
7樓2010-10-25 11:02:33
zhlwq1002
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8樓2010-10-25 11:24:00
lixy1217
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wshb0601(金幣+5):這個我覺得應(yīng)該正確，先給5個，驗證正確之后給剩下的，謝謝！ 2010-10-25 17:32:03
wshb0601(金幣+10):謝謝了！ 2010-10-28 08:43:05
wshb0601(金幣+10):謝謝了！ 2010-10-28 08:43:05
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不好意思，我在7樓給出的答案是顯然錯誤的，顯然到不需要解釋為什么是顯然的 想了好久，沒有想出一個簡便的辦法，只有用程序搞定，思路如下： 每投入一個球后，使得含奇數(shù)項的箱子數(shù)量減少或者增加一個 所以定義一個函數(shù) a(m,k)來模擬投球的情形，其中m表示還需要投入的球的個數(shù)，k表示此時含奇數(shù)個球的箱子的數(shù)量，而函數(shù)a則表示在這種條件情形下，最后能夠?qū)崿F(xiàn)每個箱子的球數(shù)為偶數(shù)的概率。顯然，m>=k，而a(256,0)就是我們要求的結(jié)果。 該函數(shù)滿足如下遞歸式，其中n=256 a(m,k)=k!/n^k， 當m=k a(m,k)=a(m-1,k-1)k/n+a(m-1,k+1)(n-k)/n， 當k 而m>k，下一個球的投入會造成兩種結(jié)果，一種是減少一個奇數(shù)箱子，這種情況概率為k/n，一種是增加一個奇數(shù)箱子，概率為(n-k)/n，所以將式子遞歸到下一步，最后計算求得的結(jié)果為 5.9987786025125427*10^-066 注意的是，在程序計算時，不要用函數(shù)遞歸來算，否則你算一輩子也算不完，而要將a(m,k)用數(shù)組來表示，然后逐步求出對應(yīng)值 [ Last edited by lixy1217 on 2010-10-25 at 16:26 ] |
9樓2010-10-25 16:21:23
10樓2010-10-26 06:18:10
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