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就是溜溜的她木蟲 (小有名氣)
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[交流]
【求助】從AB=I怎么推導(dǎo)出BA=I，這里A、B和I都是同階方陣，并且I是單位陣 已有22人參與
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線性代數(shù)中逆矩陣的定義只需要AB=I和BA=I其中一個(gè)等式就行了吧？如果是這樣，從AB=I怎么推導(dǎo)出BA=I呢？ 不知道大家有沒有理解我這個(gè)問題的意思，我這里再專門寫清楚一點(diǎn)。我的意思是，假如你就是一個(gè)數(shù)學(xué)家，現(xiàn)在還沒有逆矩陣的概念，你想創(chuàng)建逆矩陣的一個(gè)定義，擺在你面前的是 AB=I 和 BA=I 兩個(gè)等式，但是你覺得這兩個(gè)等式是一回事，用數(shù)學(xué)的語言來說就是它們是等價(jià)的，其中一個(gè)可以推出另一個(gè)，因此只需要拿一個(gè)等式作為逆矩陣的定義即可（但是我翻了一下我手頭的兩本線性代數(shù)書，它們都把兩個(gè)等式都作為逆矩陣的定義，并沒有只取其中一個(gè)，這就是我發(fā)本貼詢問的原因，是不是只取一個(gè)就可以？同時(shí)我自己也還在尋求證明）。可是出于數(shù)學(xué)家嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牧?xí)慣，你又不放心，覺得這兩個(gè)等式的等價(jià)性需要證明一下，比如如果已知AB=I，怎么推導(dǎo)出BA=I？（這個(gè)證明了，已知BA=I，推導(dǎo)出AB=I顯然就同理得出）只要證明了這兩個(gè)等式等價(jià)，我們就只需要拿其中任一個(gè)等式作為逆矩陣的定義，而不是拿兩個(gè)等式。明白了我的意思之后，各位就要注意了，現(xiàn)在你還根本沒有逆矩陣的概念（因?yàn)槟氵�沒有給逆矩陣下定義，下定義是你推導(dǎo)完之后的事）就是說你在推導(dǎo)過程中根本不能利用逆矩陣的定義。 [ Last edited by 就是溜溜的她 on 2010-11-5 at 22:25 ] 證明見39樓和48樓 [ Last edited by 就是溜溜的她 on 2011-4-29 at 14:16 ] |
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首先，證明 B 的唯一性，就是說如果 AB=AC=I 則 B=C。 事實(shí)上，由 AB = I 兩邊取行列式可知 det A ≠ 0 。再由 AB = AC可得 A(B - C) =0，這就是說，B-C的每個(gè)列 x 是齊次線性方程組 Ax=0 的解。但由 det A ≠ 0，這個(gè)方程組只有零解，所以B-C的每個(gè)列都是零，從而 B=C。 其次，我們知道，如果 C= A^* / (det A)，其中 A^* 是 A 的伴隨矩陣，則有 AC = I。由剛才所證，我們有 B=C。但是這個(gè) C = A^* / (det A) 也滿足 CA = I，從而 BA = CA = I，證畢。 |
3樓2010-11-04 18:38:01
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