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就是溜溜的她

木蟲 (小有名氣)

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[交流] 【求助】從AB=I怎么推導(dǎo)出BA=I，這里A、B和I都是同階方陣，并且I是單位陣已有22人參與

線性代數(shù)中逆矩陣的定義只需要AB=I和BA=I其中一個等式就行了吧？如果是這樣，從AB=I怎么推導(dǎo)出BA=I呢？

不知道大家有沒有理解我這個問題的意思，我這里再專門寫清楚一點。我的意思是，假如你就是一個數(shù)學(xué)家，現(xiàn)在還沒有逆矩陣的概念，你想創(chuàng)建逆矩陣的一個定義，擺在你面前的是
AB=I
和
BA=I
兩個等式，但是你覺得這兩個等式是一回事，用數(shù)學(xué)的語言來說就是它們是等價的，其中一個可以推出另一個，因此只需要拿一個等式作為逆矩陣的定義即可（但是我翻了一下我手頭的兩本線性代數(shù)書，它們都把兩個等式都作為逆矩陣的定義，并沒有只取其中一個，這就是我發(fā)本貼詢問的原因，是不是只取一個就可以？同時我自己也還在尋求證明）�？墒浅鲇跀�(shù)學(xué)家嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牧?xí)慣，你又不放心，覺得這兩個等式的等價性需要證明一下，比如如果已知AB=I，怎么推導(dǎo)出BA=I？（這個證明了，已知BA=I，推導(dǎo)出AB=I顯然就同理得出）只要證明了這兩個等式等價，我們就只需要拿其中任一個等式作為逆矩陣的定義，而不是拿兩個等式。明白了我的意思之后，各位就要注意了，現(xiàn)在你還根本沒有逆矩陣的概念（因為你還沒有給逆矩陣下定義，下定義是你推導(dǎo)完之后的事）就是說你在推導(dǎo)過程中根本不能利用逆矩陣的定義。

[ Last edited by 就是溜溜的她 on 2010-11-5 at 22:25 ]

證明見39樓和48樓

[ Last edited by 就是溜溜的她 on 2011-4-29 at 14:16 ]

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1樓 2010-11-04 17:43:01

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就是溜溜的她

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衷心感謝諸君的討論，并尤其感謝Pchief君！
無論從Pchief君回帖的數(shù)量、質(zhì)量，還是耐心和細(xì)致，以及他數(shù)學(xué)知識的淵博和嫻熟，都令我非常感動、肅然起敬！論壇正需要這樣的熱心朋友來幫助大家，希望今后能從Pchief君那里學(xué)到更多的知識！

[ Last edited by 就是溜溜的她 on 2010-11-19 at 11:47 ]

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51樓2010-11-18 23:23:23

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cqsmath(金幣+1):謝謝交流！ 2010-11-04 21:29:49

首先，證明 B 的唯一性，就是說如果 AB=AC=I 則 B=C。

事實上，由 AB = I 兩邊取行列式可知 det A ≠ 0 。再由 AB = AC可得 A(B - C) =0，這就是說，B-C的每個列 x 是齊次線性方程組 Ax=0 的解。但由 det A ≠ 0，這個方程組只有零解，所以B-C的每個列都是零，從而 B=C。

其次，我們知道，如果 C= A^* / (det A)，其中 A^* 是 A 的伴隨矩陣，則有 AC = I。由剛才所證，我們有 B=C。但是這個 C = A^* / (det A) 也滿足 CA = I，從而 BA = CA = I，證畢。

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3樓2010-11-04 18:38:01

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把我所有的回復(fù)匯總一下：

A和B是同階方陣，則等式 AB=I 蘊涵 BA=I 的證明 （略有簡化）

首先感謝 ykwang 提供思路，雖然沒有寫出具體證明過程，但對證明的簡化有一定幫助，鄙人在此收回26樓最后一句話，并鄭重向 ykwang 致歉

首先由 AB = I 兩邊取行列式可知 det A ≠ 0，其次，等式 AB = I 兩邊右乘 A 得 ABA = A，移項并分離因式得 A(BA - I) = 0，于是 BA - I 的每個列 x 滿足 Ax =0 ，但由 det A ≠ 0，齊次線性方程組 Ax = 0 只有零解（Cramer法則），即 x = 0，這就是說， BA - I 的每個列都是零，從而得到 BA = I。

Cramer法則（若det A ≠ 0，則齊次線性方程組 Ax = 0 只有零解）的證明（只用到行列式知識，不涉及矩陣）

設(shè) x=(x(1), ..., x(n))'，并把 A 的 n 個列依次記為 ξ(1), ..., ξ(n). 則等式 Ax = 0可以寫成
x(1)ξ(1) + ... + x(n)ξ(n) = 0

于是對于任何一個 j， 1≤j≤n，我們有

0 = det (ξ(1), ... , x(1)ξ(1) + ... + x(n)ξ(n), ... , ξ(n)) 其中x(1)ξ(1) + ... + x(n)ξ(n)位于第 j 個位置

=x(1) det (ξ(1), ... , ξ(1),...,ξ(n))+ ... + x(n) det (ξ(1), ... , ξ(n),...,ξ(n))

=x(j) det (ξ(1), ... , ξ(j),...,ξ(n)) 因為除了這一項，其他的行列式都有兩列相同而為零

=x(j) det A.

由 det A≠0 得 x(j) =0，由于 j 的任意性得到 x = 0，Cramer法則得證。

反例：去掉A 和B是矩陣這個背景，AB = I 就不蘊涵 BA=I 了

令 X 是所有平方收斂的實數(shù)列的全體，即 X 中的元素形如

(x(1), x(2), ..., x(n), ... ) 其中 x(1)^2 + x(2)^2 + ... + x(n)^2 +... < +∞。

X 在如下定義的加法和數(shù)乘下面成為實線性空間

(x(1), x(2), ..., x(n), ... ) + (y(1), y(2), ..., y(n), ... ) = (x(1)+y(1), x(2)+y(2), ..., x(n)+y(n), ... )

a (x(1), x(2), ..., x(n), ... ) = (a x(1), a x(2), ..., a x(n), ... ) , a∈R

設(shè) A 和 B 是 X 上的線性變換，定義為：

A (x(1), x(2), ..., x(n), ... ) = (x(2), x(3), ... , x(n+1), ...)
B (x(1), x(2), ..., x(n), ... ) = (0, x(1), ..., x(n-1), ... )

通常將 A 和 B 分別稱為左推移和右推移。現(xiàn)在，不難驗證 AB = I，但

BA (e) = 0 ≠ e，其中 e=(1, 0, ..., 0, ...) ，所以 BA ≠ I。

[ Last edited by Pchief on 2010-11-6 at 01:40 ]

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39樓2010-11-06 01:35:24

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只需要定義一個就可以。根據(jù)就是A 和其伴隨矩陣的乘積等于A的行列式

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2樓2010-11-04 17:52:38

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cqsmath(金幣+1):謝謝交流！ 2010-11-04 21:30:06

純形式地講從 AB = I 是不能推出 BA = I 的，只是由于 A 跟 B 都是矩陣這一特定的條件才使得這種推導(dǎo)成為可能。

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4樓2010-11-04 18:42:14

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cqsmath(金幣+1):歡迎常來！ 2010-11-04 21:30:16

AB = I -> (A^-1)AB=(A^-1)I -> IB=A^-1 -> B=A^-1,
BA =I -> BA(A^-1) = I(A^-1) -> B = A^-1;
注意這個方法，只有在A存在逆矩陣的情況下，例如Pchief給出證明。如果A是不存在逆矩陣的，無法成立~

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5樓2010-11-04 21:16:06

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ykwang

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證明：因為AB=I，說明B為A的右逆陣。等式兩邊同時左乘B給出BAB=BI=B。注意矩陣的乘法滿足結(jié)合律，故由（BA）B=B可知BA=I，即B也是A的左逆陣。換言之，矩陣A的逆不分左右，且是唯一的。

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Nothing_Is_Impossible!

6樓2010-11-05 09:30:52

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引用回帖:

Originally posted by ykwang at 2010-11-05 09:30:52:
故由（BA）B=B可知BA=I

這步的根據(jù)是什么？

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7樓2010-11-05 13:09:14

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just_play

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Originally posted by Pchief at 2010-11-05 13:09:14:

這步的根據(jù)是什么？

這步的導(dǎo)出過程和你在3樓的：

“再由 AB = AC可得 A(B - C) =0，這就是說，B-C的每個列 x 是齊次線性方程組 Ax=0 的解。但由 det A ≠ 0，這個方程組只有零解，所以B-C的每個列都是零，從而 B=C�！�

是一樣的吧: B'(BA-I)'=0, '為轉(zhuǎn)置

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So Trivial !

8樓2010-11-05 13:17:36

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ykwang

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Originally posted by Pchief at 2010-11-05 13:09:14:

故由（BA）B=B可知BA=I

這步的根據(jù)是什么？

其依據(jù)是由（BA）B=B可知BA是B的左單位陣，而同樣可以證明單位陣不分左右，且是唯一的，所以BA=I。

修改說明：原來的“BA是A的左單位陣”，其中A打錯了，應(yīng)該是B�，F(xiàn)已改為“BA是B的左單位陣”。

[ Last edited by ykwang on 2010-11-5 at 19:16 ]

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9樓2010-11-05 14:15:44

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引用回帖:

Originally posted by ykwang at 2010-11-05 14:15:44:

其依據(jù)是由（BA）B=B可知BA是A的左單位陣，而同樣可以證明單位陣不分左右，且是唯一的，所以BA=I。

[ Last edited by ykwang on 2010-11-5 at 14:16 ]

什么叫左單位陣，解釋一下。

單位陣就是單位陣，有明確定義，而你這個左單位陣是哪本書講到的，我怎么就沒聽說過，給個出處。

引用回帖:

Originally posted by just_play at 2010-11-05 13:17:36:

這步的導(dǎo)出過程和你在3樓的：

“再由 AB = AC可得 A(B - C) =0，這就是說，B-C的每個列 x 是齊次線性方程組 Ax=0 的解。但由 det A ≠ 0，這個方程組只有零解，所以B-C的每個列都是零，從而 B=C�！�

是 ...

我看他的樣子是想純粹從形式上推導(dǎo)這個命題，我在4樓已經(jīng)說過，不用到A跟B是矩陣這個具體的背景，比方說行列式，線性方程組這些跟矩陣有關(guān)的工具，光形式地推是推不出來的，我可以舉反例說明，如果把A跟B是矩陣這個條件去掉，AB=I 并不蘊涵 BA=I。

[ Last edited by Pchief on 2010-11-5 at 15:03 ]

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10樓2010-11-05 14:46:25

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