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北京石油化工學(xué)院2026年研究生招生接收調(diào)劑公告

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木蟲 (正式寫手)

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[交流] 【求助】經(jīng)典方向?qū)?shù)和Gateaux方向?qū)?shù)的定義有啥區(qū)別呀

經(jīng)典方向?qū)?shù)是如下定義的
$\lim_{t\downarrow 0} \dfrac{f(x+td)-f(x)}{t}$
Gateaux方向?qū)?shù)定義為
$f'(x;d) = \lim_{t \to 0} \dfrac{f(x+td)-f(x)}{t}$
他們有啥區(qū)別？趕緊經(jīng)典的求取極限的約束更加放松，而Gateaux反倒嚴(yán)格。為什么說Gateaux是經(jīng)典導(dǎo)數(shù)的推廣呢?

[ Last edited by net.ieee on 2011-2-12 at 14:19 ]

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1樓 2011-02-12 14:15:37

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jfili

金蟲 (正式寫手)

net.ieee(金幣+1): 對函數(shù)使用范圍的推廣并不明顯，經(jīng)典導(dǎo)數(shù)對更廣義空間上定義的函數(shù)就不能使用了了么？ 2011-02-15 19:33:05
net.ieee(金幣+1): 2011-06-08 16:16:30

經(jīng)典導(dǎo)數(shù)是對函數(shù) f:R^n----->R^m;
而Gateaux方向?qū)?shù)可以定義函數(shù) f:X------>Y (X,Y為兩個(gè)Banach空間，或更廣的空間或其局部凸子集，當(dāng)然是必須有極限定義的拓?fù)淇臻g)的導(dǎo)數(shù)

所以Gateaux方向?qū)?shù)是經(jīng)典方向?qū)?shù)的推廣。
不明白你所說的取極限的約束“更加放松”指的是什么？

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2樓2011-02-13 15:58:15

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net.ieee

木蟲 (正式寫手)

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t \downarrow 0求極限，顯然是單側(cè)極限，要比t \to 0從兩側(cè)獲得相同的極限值來的容易，所以我認(rèn)為是放松了求極限的條件。經(jīng)典導(dǎo)數(shù)定義難道不能對定義在更加廣義空間上的函數(shù)使用么？

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3樓2011-02-15 19:31:59

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jfili

金蟲 (正式寫手)

net.ieee(金幣+1): 2011-06-08 16:16:26

比如說f(x,y)，d=(0,1)^T。由你給的定義，“經(jīng)典方向?qū)?shù)”是指f(x,y)延y軸正向的導(dǎo)數(shù)，Gateaux方向?qū)?shù)是指f對y的偏導(dǎo)數(shù)。
我們在分析中最常用的是偏導(dǎo)數(shù)，而不是“經(jīng)典方向?qū)?shù)”。

推廣到一般的Banach空間中，比如說x是指L^2函數(shù)，不妨將此點(diǎn)記作u(x)
令f(u)=\int u^2 dx。
對L^2空間中的點(diǎn) v
有f'(u; v)=2\int u(x)v(x)dx.
這個(gè)很明顯不在是經(jīng)典意義下的導(dǎo)數(shù)了

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4樓2011-02-16 15:12:43

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