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【求助】一道概率論的題 已有5人參與
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一民航送客車載有20位旅客自機場開出，旅客有10個車站可以下車（中間任何站都沒有旅客上車）。如到達一個車站沒有旅客下車就不停車，以X表示停車的次數(shù)，求E（X）。 （設(shè)每個旅客在各個車站下車是等可能的，并設(shè)各旅客是否下車是相互獨立的） 謝謝各位了 |
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X=1, E(X)=10 /10^20 X=2 E(X)= C(2,10) * P(2) /10^20, 其中 P(2) = 2^20 - 2 X=3, E(X) = C(3,10) * P(3)/10^20, 其中P(3)= 3^20 - 3 * P(2) ... E(X) = C(X,10)*P(X) /10^20 其中P(X) = X^20- X*P(X-1) 實際上由于P(X)遠大于P(X-1)或許可以寫成 E(X)=C(X,10)*X^20/10^20。 其中C(X,10)=C^X_10為組合。 我比較笨，好像還沒有得到更簡單解耶，哪位高手出手一下。 |
2樓2011-02-22 15:30:19
信彼南山
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3樓2011-02-22 18:11:23
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令，人在某站下車的概率為p，p=0.1 1個人，E(X)=A(1)=1 ////////////////////////////////////////// 2個人，E(X)=A(2)在[1,2] A(2)=10*(p+p-p*p) %10個站，每站停車的概率為p(#1下車)+p(#2下車)-p(#1,2都下車) =10*(0.1+0.1-0.01)=1.9 即，2個人的時候，平均停車1.9次 ////////////////////////////////////////// 3個人，E(X)=A(3)在[1,3] A(3)=10*(3*p*(1-p)*(1-p)+3*p*p*(1-p)+p*p*p) %每站停車的概率為p(#1下車|#2,3不下)+p(#2下車|#1,3不下)+p(#3下車|#1,2不下)+p(#1,2下|#3不下)+p(#1,3下|#2不下)+)+p(#2,3下|#1不下)+p(#1,2,3都下) =10*(3*0.1*0.9*0.9+3*0.1*0.1*0.9+0.1*0.1*0.1) =10*(0.243+0.027+0.001)=2.71 即，3個人的時候，平均停車2.71次 ////////////////////////////////////////// 4個人，E(X)=A(4)在[1,4] A(4)=10*(C(4,1)*p*(1-p)^(4-1)+C(4,2)*p^2*(1-p)^(4-2)+C(4,3)*p^3*(1-p)^(4-3)+C(4,4)*p^4) %每站停車的概率為C(4,1)*p(1下|3不下)+C(4,2)*p(2下|2不下)+C(4,3)*p(3下|1不下)+C(4,4)*p(都下) =10*(4*0.1*0.9^3+6*0.1^2*0.9^2+4*0.1^3*0.9+0.1^4) =3.4390 即，4個人的時候，平均停車3.439次 ////////////////////////////////////////// 于是，猜測 A(n)=10*sum[1,n]{C(n,i)*p^i*(1-p)^(n-i)} 計算n=1~20 1 1 2 1.9 3 2.71 4 3.439 5 4.0951 6 4.68559 7 5.217031 8 5.6953279 9 6.12579511 10 6.513215599 11 6.8618940391 12 7.17570463519 13 7.458134171671 14 7.7123207545039 15 7.94108867905351 16 8.14697981114817 17 8.33228183003335 18 8.49905364703002 19 8.64914828232702 20 8.78423345409431 即，20個人的時候，平均停車8.78次 [ Last edited by 信彼南山 on 2011-2-22 at 19:39 ] |
4樓2011-02-22 18:54:34
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