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holmescn

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[交流] Euler 工程第廿七題：系數(shù)的積已有4人參與

Euler大牛給出了一個(gè)很牛的二次公式:

引用回帖:

n^2 + n + 41

這個(gè)很牛的公式, 當(dāng)n 從0取到39的時(shí)候,能給出40個(gè)質(zhì)數(shù). 可是當(dāng)n=40的時(shí)候,就失靈了.

使用計(jì)算機(jī), 我們又得到一個(gè)更牛的公式

引用回帖:

n^2 - 79n + 1601

這哥們,當(dāng)n從0取到79的時(shí)候,能給出80個(gè)質(zhì)數(shù).

如果我們定義這樣的一個(gè)二次公式: n^2 + an + b
a 和 b 的絕對(duì)值都小于1000, 當(dāng)這個(gè)公式能產(chǎn)生最多的質(zhì)數(shù)的時(shí)候, 給出a和b的積.

致歉：
開始譯的時(shí)候，我理解錯(cuò)了，結(jié)果給出錯(cuò)誤的表述，讓大家產(chǎn)生了誤解，在這里說聲對(duì)不起了。

[ Last edited by holmescn on 2011-6-16 at 19:54 ]

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“產(chǎn)生最多的質(zhì)數(shù)”這個(gè)說法有點(diǎn)模糊呢，看例子，是不是指n從0開始取，然后遞增1，直到式子n^2 + an + b不再為質(zhì)數(shù)為止，這個(gè)過程中n的個(gè)數(shù)呢？

然后那個(gè)80個(gè)質(zhì)數(shù)的例子是暗示一個(gè)上限嗎

：

80^2 + 1000*80 + 1000 = 87400 （使用的質(zhì)數(shù)表中，最大的質(zhì)數(shù)小于這個(gè)數(shù)~）

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2樓2011-06-16 10:43:17

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余澤成(金幣+3): 鼓勵(lì)交流！ 2011-06-18 16:07:47

引用回帖:

Originally posted by sudo at 2011-06-16 10:43:17:
“產(chǎn)生最多的質(zhì)數(shù)”這個(gè)說法有點(diǎn)模糊呢，看例子，是不是指n從0開始取，然后遞增1，直到式子n^2 + an + b不再為質(zhì)數(shù)為止，這個(gè)過程中n的個(gè)數(shù)呢？

然后那個(gè)80個(gè)質(zhì)數(shù)的例子是暗示一個(gè)上限嗎

：

80^2 + 1000*8 ...

應(yīng)該是沒有什么暗示的吧。要找的是從[0~x)自然數(shù)區(qū)間映射到素?cái)?shù)空間的一個(gè)函數(shù)映射f(n)=n(n+a)+b，要求0~x這個(gè)區(qū)間最長(zhǎng)。

a取正數(shù)的時(shí)候n+a肯定不能超過b，x的取值就是0~(b-a)，a取負(fù)數(shù)的時(shí)候似乎只能達(dá)到|a|，函數(shù)形狀是對(duì)稱的，能到達(dá)|a|純屬巧合，真正的產(chǎn)生素?cái)?shù)的部分是0~|a/2|這個(gè)部分，x所在的區(qū)間應(yīng)該是0~|a|。不過再往下也不是沒可能，最可靠的估計(jì)還是0~b。

a的搜索區(qū)間是-1000~1000，b的搜索區(qū)間則是0~1000內(nèi)的素?cái)?shù)，算法看起來(lái)需要O(n*n/Inn)的復(fù)雜度，多項(xiàng)式時(shí)間可解的搜索問題吧。

[ Last edited by huycwork on 2011-6-16 at 12:26 ]

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3樓2011-06-16 11:50:23

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這個(gè)只能暴力解吧,

CODE:

 #include 

#include 

#include 

bool isPrime(int n)

{

        int i;

        bool flag = true;

        for(i=2;i
        {

                if(n%i==0)

                {

                        flag = false;

                        break;

                }

        }

        return flag;

}

int main(int args,char* argv[])

{

        int a=0,b=0,i,j;

        int maxlen=0, curlen,n;

        for(i=-999;i<1000;i++)

        {

                for(j=-999;j<1000;j++)

                {

                        if(!isPrime(j)) // n^2+a*n+b, b must be a prime while n==0

                                continue;

                        curlen = 1; // n==0

                        for(n=1;n<79;n++)

                        {

                                if(!isPrime(n*n+i*n+j))

                                        break;

                                curlen += 1;

                        }

                        if(curlen>maxlen)

                        {

                                maxlen = curlen;

                                a = i;

                                b = j;

                        }

                }

        }

        printf("While %d*%d=%d, (n^2+(%d)*n+%d) produces %d primes.\n",a,b,a*b,a,b,maxlen);

        return 0;

}

結(jié)果

CODE:

 % While -61*971=-59231, (n^2+(-61)*n+971) produces 72 primes.

% Elapsed time is 1.578 seconds.

[ Last edited by libralibra on 2011-6-16 at 16:46 ]

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4樓2011-06-16 16:23:25

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我還以為表達(dá)清楚了呢. 其實(shí)就是n從0取到m,這m+1個(gè)數(shù)都是質(zhì)數(shù).然后看a*b等于多少.

Matlab版的窮舉法:

CODE:

tic

maxn = 0;

maxp = [0 0];

for a = -1000:1000

    for b = -1000:1000

        n = 0;

        while (n^2 + a*n + b) > 0 && isprime(n^2 + a*n +b)

            n = n + 1;

        end

        if n > maxn

            maxn = n;

            maxp = [a b];

            fprintf('maxn=%d\n', maxn);

        end

    end

end

fprintf('a=%d,b=%d, a*b=%d\n', maxp(1), maxp(2), maxp(1)*maxp(2));

toc

結(jié)果:

引用回帖:

a = -61, b = 971, a*b = -59231
用時(shí) 150 秒. 共有72個(gè)質(zhì)數(shù)

[ Last edited by holmescn on 2011-6-16 at 16:37 ]

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5樓2011-06-16 16:36:15

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引用回帖:

：

80^2 + 1000*8 ...

很高的洞察力哈~佩服佩服~

閣下莫非是根據(jù)1601超過1000判斷這個(gè)上限的？

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6樓2011-06-16 16:49:20

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余澤成(金幣+2): 辛苦了！ 2011-06-18 16:08:40

修改以后, 假設(shè)b是質(zhì)數(shù),這樣時(shí)間變成原來(lái)的三分之一了

CODE:

tic

bprime = primes(1000);

maxn = 0;

maxp = [0 0];

for a = -1000:1000

    for i = 1:length(bprime)

        n = 0;

        b = bprime(i);

        while (n^2 + a*n + b) > 0 && isprime(n^2 + a*n +b)

            n = n + 1;

        end

        if n > maxn

            maxn = n;

            maxp = [a b];

        end

    end

end

fprintf('a=%d,b=%d, a*b=%d\n', maxp(1), maxp(2), maxp(1)*maxp(2));

toc

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7樓2011-06-16 16:50:45

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引用回帖:

Originally posted by libralibra at 2011-06-16 16:23:25:
這個(gè)只能暴力解吧,

[code] #include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

bool isPrime(int n)
{
int i;
bool flag = true;
for(i=2;i<sqrt(abs(n));i++)
{
...

如果先給b生成一個(gè)質(zhì)數(shù)表呢, 我想還能再快, 可能不到1秒了.

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8樓2011-06-16 16:55:23

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汗，題目寫得太令人費(fèi)解了...

n^2 + n + 41 能給出前40個(gè)質(zhì)數(shù)

我還以為是指從2開始的40個(gè)質(zhì)數(shù)呢...后來(lái)一看不是，原來(lái)是從41開始的40個(gè)質(zhì)數(shù)...后來(lái)一看又不是，原來(lái)，是指 n^2 + n + 41 這條公式給出的前40個(gè)解都是質(zhì)數(shù)...

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9樓2011-06-16 17:35:39

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引用回帖:

Originally posted by fatpig8832 at 2011-06-16 17:35:39:
汗，題目寫得太令人費(fèi)解了...

n^2 + n + 41 能給出前40個(gè)質(zhì)數(shù)

我還以為是指從2開始的40個(gè)質(zhì)數(shù)呢...后來(lái)一看不是，原來(lái)是從41開始的40個(gè)質(zhì)數(shù)...后來(lái)一看又不是，原來(lái)，是指 n^2 + n + 41 這條公式給出的前40 ...

哈哈,這個(gè)題目英文說明很清楚的,

Euler published the remarkable quadratic formula:

n² + n + 41

It turns out that the formula will produce 40 primes for the consecutive values n = 0 to 39. However, when n = 40, 402 + 40 + 41 = 40(40 + 1) + 41 is divisible by 41, and certainly when n = 41, 41² + 41 + 41 is clearly divisible by 41.

Using computers, the incredible formula n² − 79n + 1601 was discovered, which produces 80 primes for the consecutive values n = 0 to 79. The product of the coefficients, −79 and 1601, is −126479.

Considering quadratics of the form:

n² + an + b, where |a| < 1000 and |b| < 1000

where |n| is the modulus/absolute value of n
e.g. |11| = 11 and |−4| = 4

Find the product of the coefficients, a and b, for the quadratic expression that produces the maximum number of primes for consecutive values of n, starting with n = 0.

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10樓2011-06-16 17:41:39

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