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jfili金蟲 (正式寫手)
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[交流]
什么是好數(shù)學？ 已有2人參與
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作者：Terence Tao 譯者：盧昌海 譯者序： 本文譯自澳大利亞數(shù)學家 Terence Tao 的近作 “What is Good Mathematics?”。 Tao 是調(diào)和分析、 微分方程、 組合數(shù)學、 解析數(shù)論等領域的大師級的年輕高手。 2006 年， 31 歲的 Tao 獲得了數(shù)學界的最高獎 Fields 獎， 成為該獎項七十年來最年輕的獲獎者之一。 美國數(shù)學學會 (AMS) 對 Tao 的評價是： “他將精純的技巧、 超凡入圣的獨創(chuàng)及令人驚訝的自然觀點融為一體”。 著名數(shù)學家 Charles Fefferman (1978 年的 Fields 獎得主) 的評價則是： “如果你有解決不了的問題， 那么找到出路的辦法之一就是引起 Terence Tao 的興趣”。 Tao 雖然已經(jīng)具有了世界性的聲譽， 但由于他的年輕， 多數(shù)人 (尤其是數(shù)學界以外的人) 對他的了解仍很有限。 Tao 的這篇短文在一定程度上闡述了他的數(shù)學觀， 在這一點上類似于英國數(shù)學家 Godfrey Hardy 的名著《A Mathematician's Apology》， 相信會讓許多讀者感興趣 (如果哪位讀者想接受 Fefferman 的忠告， 讓自己的問題有朝一日引起 Tao 的興趣， 那么讀一讀這篇文章可能會有所助益:-)。 不過 Tao 的這篇文章遠比《A Mathematician's Apology》難讀得多。 從表面上看， 它不帶任何數(shù)學公式， 這點甚至比《A Mathematician's Apology》做得更為徹底 (后者還帶有一些 12+12=2 之類的數(shù)學公式)， 但實際上， 文章的主要部分 - 即第二節(jié) (對應于譯文 中篇 的全部及 下篇 的大部分) - 所涉及的數(shù)學概念相當密集， 足以給非數(shù)學專業(yè)的讀者造成很大的困難， 因此譯文對譯者知識所及且能用簡短方式加以說明的若干概念進行了注釋。 本譯文略去了原文的摘要、 文獻及正文中單純與文獻有關的個別文句 (即諸如 “感興趣的讀者請參閱某某文獻” 之類的文句)。 本譯文末尾附有 Alain Connes (1982 年的 Fields 獎得主) 在一篇 blog 文字中對 Tao 這篇文章的 負面評論。 1. 數(shù)學品質(zhì)的諸多方面 我們都認為數(shù)學家應該努力創(chuàng)造好數(shù)學。 但 “好數(shù)學” 該如何定義？ 甚至是否該斗膽試圖加以定義呢？ 讓我們先考慮前一個問題。 我們幾乎立刻能夠意識到有許多不同種類的數(shù)學都可以被稱為是 “好” 的。 比方說， “好數(shù)學” 可以指 (不分先后順序)： 好的數(shù)學題解 (比如在一個重要數(shù)學問題上的重大突破)； 好的數(shù)學技巧 (比如對現(xiàn)有方法的精湛運用， 或發(fā)展新的工具)； 好的數(shù)學理論 (比如系統(tǒng)性地統(tǒng)一或推廣一系列現(xiàn)有結果的概念框架或符號選擇)； 好的數(shù)學洞察 (比如一個重要的概念簡化， 或對一個統(tǒng)一的原理、 啟示、 類比或主題的實現(xiàn))； 好的數(shù)學發(fā)現(xiàn) (比如對一個出人意料、 引人入勝的新的數(shù)學現(xiàn)象、 關聯(lián)或反例的揭示)； 好的數(shù)學應用 (比如應用于物理、 工程、 計算機科學、 統(tǒng)計等領域的重要問題， 或將一個數(shù)學領域的結果應用于另一個數(shù)學領域)； 好的數(shù)學展示 (比如對新近數(shù)學課題的詳盡而廣博的概覽， 或一個清晰而動機合理的論證)； 好的數(shù)學教學 (比如能讓他人更有效地學習及研究數(shù)學的講義或寫作風格， 或對數(shù)學教育的貢獻)； 好的數(shù)學遠見 (比如富有成效的長遠計劃或猜想)； 好的數(shù)學品味 (比如自身有趣且對重要課題、 主題或問題有影響的研究目標)； 好的數(shù)學公關 (比如向非數(shù)學家或另一個領域的數(shù)學家有效地展示數(shù)學成就)； 好的元數(shù)學 (比如數(shù)學基礎、 哲學、 歷史、 學識或實踐方面的進展)； [譯者注： 此處 “元數(shù)學” 譯自 “meta-mathematics”， 不過這里所舉的有些內(nèi)容， 如歷史、 實踐等， 通常并不屬于元數(shù)學的范疇。] 嚴密的數(shù)學 (所有細節(jié)都正確、 細致而完整地給出)； 美麗的數(shù)學 (比如 Ramanujan 的令人驚奇的恒等式； 陳述簡單漂亮， 證明卻很困難的結果)； 優(yōu)美的數(shù)學 (比如 Paul Erdős 的 “來自天書的證明” 觀念； 通過最少的努力得到困難的結果)； [譯者注： “來自天書的證明” 譯自 “proofs from the Book”。 Paul Erdős 喜歡將最優(yōu)美的數(shù)學證明說成是來自 “The Book” (我將之譯為 “天書”)， 他有這樣一句名言： 你不一定要相信上帝， 但應該相信 “The Book”。 Erdős 去世后的第三年， 即 1998 年， Martin Aigner 和 Günter M. Ziegler 以《來自天書的證明》為書名出版了一本書， 收錄了幾十個優(yōu)美的數(shù)學證明， 以紀念 Erdős。] 創(chuàng)造性的數(shù)學 (比如本質(zhì)上新穎的原創(chuàng)技巧、 觀點或各類結果)； 有用的數(shù)學 (比如會在某個領域的未來工作中被反復用到的引理或方法)； 強有力的數(shù)學 (比如與一個已知反例相匹配的敏銳的結果， 或從一個看起來很弱的假設推出一個強得出乎意料的結論)； 深刻的數(shù)學 (比如一個明顯非平凡的結果， 比如理解一個無法用更初等的方法接近的微妙現(xiàn)象)； 直觀的數(shù)學 (比如一個自然的、 容易形象化的論證)； 明確的數(shù)學 (比如對某一類型的所有客體的分類； 對一個數(shù)學課題的結論)； 其它[注一]。 如上所述， 數(shù)學品質(zhì)這一概念是一個高維的 (high-dimensional) 概念， 并且不存在顯而易見的標準排序[注二]。 我相信這是由于數(shù)學本身就是復雜和高維的， 并且會以一種自我調(diào)整及難以預料的方式而演化； 上述每種品質(zhì)都代表了我們作為一個群體增進對數(shù)學的理解及運用的不同方式。 至于上述品質(zhì)的相對重要性或權重， 看來并無普遍的共識。 這部分地是由于技術上的考慮： 一個特定時期的某個數(shù)學領域的發(fā)展也許更易于接納一種特殊的方法； 部分地也是由于文化上的考慮： 任何一個特定的數(shù)學領域或學派都傾向于吸引具有相似思維、 喜愛相似方法的數(shù)學家。 它同時也反映了數(shù)學能力的多樣性： 不同的數(shù)學家往往擅長不同的風格， 因而適應不同類型的數(shù)學挑戰(zhàn)。 我相信 “好數(shù)學” 的這種多樣性和差異性對于整個數(shù)學來說是非常健康的， 因為它允許我們在追求更多的數(shù)學進展及更好的理解數(shù)學這一共同目標上采取許多不同的方法， 并開發(fā)許多不同的數(shù)學天賦。 雖然上述每種品質(zhì)都被普遍接受為是數(shù)學所需要的品質(zhì)， 但犧牲其它所有品質(zhì)為代價來單獨追求其中一兩種卻有可能變成對一個領域的危害。 考慮下列假想的 (有點夸張的) 情形： 一個領域變得越來越華麗怪異， 在其中各種單獨的結果為推廣而推廣， 為精致而精致， 而整個領域卻在毫無明確目標和前進感地隨意漂流。 一個領域變得被令人驚駭?shù)牟孪胨涑猓?卻毫無希望在其中任何一個猜想上取得嚴格進展。 一個領域變得主要通過特殊方法來解決一群互不關聯(lián)的問題， 卻沒有統(tǒng)一的主題、 聯(lián)系或目的。 一個領域變得過于枯燥和理論化， 不斷用技術上越來越形式化的框架來重鑄和統(tǒng)一以前的結果， 后果卻是不產(chǎn)生任何令人激動的新突破。 一個領域崇尚經(jīng)典結果， 不斷給出這些結果的更短、 更簡單及更優(yōu)美的證明， 但卻不產(chǎn)生任何經(jīng)典著作以外的真正原創(chuàng)的新結果。 在上述每種情形下， 有關領域會在短期內(nèi)出現(xiàn)大量的工作和進展， 但從長遠看卻有邊緣化和無法吸引更年輕的數(shù)學家的危險。 幸運的是， 當一個領域不斷接受挑戰(zhàn)， 并因其與其它數(shù)學領域 (或相關學科) 的關聯(lián)而獲得新生， 或受到并尊重多種 “好數(shù)學” 的文化熏陶時， 它不太可能會以這種方式而衰落。 這些自我糾錯機制有助于使數(shù)學保持平衡、 統(tǒng)一、 多產(chǎn)和活躍。 現(xiàn)在讓我們轉而考慮前面提出的另一個問題， 即我們到底該不該試圖對 “好數(shù)學” 下定義。 下定義有讓我們變得傲慢自大的危險， 特別是， 我們有可能因為一個真正數(shù)學進展的奇異個例不滿足主流定義[注三]而忽視它。 另一方面， 相反的觀點 - 即在任何數(shù)學研究領域中所有方法都同樣適用并該得到同樣資源[注四]， 或所有數(shù)學貢獻都同樣重要 - 也是有風險的。 那樣的觀點就其理想主義而言也許是令人欽佩的， 但它侵蝕了數(shù)學的方向感和目的感， 并且還可能導致數(shù)學資源的不合理分配[注五]。 真實的情形處于兩者之間， 對于每個數(shù)學領域， 現(xiàn)存的結果、 傳統(tǒng)、 直覺和經(jīng)驗 (或它們的缺失) 預示著哪種方法可能會富有成效， 從而應當?shù)玫酱蠖鄶?shù)的資源； 那種方法更具試探性， 從而或許只要少數(shù)有獨立頭腦的數(shù)學家去進行探究以避免遺漏。 比方說， 在已經(jīng)發(fā)展成熟的領域， 比較合理的做法也許是追求系統(tǒng)方案， 以嚴格的方式發(fā)展普遍理論， 穩(wěn)妥地延用卓有成效的方法及業(yè)已確立的直覺； 而在較新的、 不太穩(wěn)定的領域， 更應該強調(diào)的也許是提出和解決猜想， 嘗試不同的方法， 以及在一定程度上依賴不嚴格的啟示和類比。 因此， 從策略上講比較合理的做法是， 在每個領域內(nèi)就數(shù)學進展中什么品質(zhì)最應該受到鼓勵做一個起碼是部分的 (但與時俱進的) 調(diào)查， 以便在該領域的每個發(fā)展階段都能最有效地發(fā)展和推進該領域。 比方說， 某個領域也許急需解決一些緊迫的問題； 另一個領域也許在翹首以待一個可以理順大量已有成果的理論框架， 或一個宏大的方案或一系列猜想來激發(fā)新的結果； 其它領域則也許會從對關鍵定理的新的、 更簡單及更概念化的證明中獲益匪淺； 而更多的領域也許需要更大的公開性， 以及關于其課題的透徹介紹， 以吸引更多的興趣和參與。 因此， 對什么是好數(shù)學的確定會并且也應當高度依賴一個領域自身的狀況。 這種確定還應當不斷地更新與爭論， 無論是在領域內(nèi)還是從通過旁觀者。 如前所述， 有關一個領域應當如何發(fā)展的調(diào)查， 若不及時檢驗和更正， 很有可能會導致該領域內(nèi)的不平衡。 上面的討論似乎表明評價數(shù)學品質(zhì)雖然重要， 卻是一件復雜得毫無希望的事情， 特別是由于許多好的數(shù)學成就在上述某些品質(zhì)上或許得分很高， 在其它品質(zhì)上卻不然； 同時， 這些品質(zhì)中有許多是主觀而難以精確度量的 (除非是事后諸葛)。 然而， 一個令人矚目的現(xiàn)象是[注六]： 上述一種意義上的好數(shù)學往往傾向于引致許多其它意義上的好數(shù)學， 由此產(chǎn)生了一個試探性的猜測， 即有關高品質(zhì)數(shù)學的普遍觀念也許畢竟還是存在的， 上述所有特定衡量標準都代表了發(fā)現(xiàn)新數(shù)學的不同途徑， 或一個數(shù)學故事發(fā)展過程中的不同階段或方面。 2. 個例研究： Szemerédi 定理 現(xiàn)在我們從一般轉向特殊， 通過考察 Szemerédi 定理 - 那個聲稱任何具有正 (上) 密度的整數(shù)子集必定包含任意長度算術序列的漂亮而著名的結果 - 的內(nèi)容及歷史來說明上段所述的現(xiàn)象。 這里我將避免所有的技術細節(jié)。 [譯者注： 1. 整數(shù)子集 A 的 “上” 密度， 指的是 lim supN→∞ |A∩[-N,N]|/2N， 其中序列 aN 的上極限 lim supN→∞ aN 定義為 AN=supk≥N ak 的極限。 2. 算術序列 (在后文中有時被簡稱為序列) 指的是由整數(shù)組成的等差序列， 序列中的整數(shù)個數(shù)稱為算術序列的長度。] 這個故事有許多個自然的切入點。 我將從 Ramsey 定理 - 任何有限著色的足夠大的完全圖必定包含大的單色完全子圖 (比如任意六人中必有三人要么彼此相識， 要么彼此陌生， 假定 “相識” 是一個有良好定義的對稱關系) - 開始。 這個很容易證明 (無需用到比迭代鴿籠原理更多的東西) 的結果代表了一種新現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)， 并且開辟了一系列新的數(shù)學結果： Ramsey 型定理。 這些定理中的每一個都是數(shù)學上一個新近洞察的觀點 “完全無序是不可能的” 的不同表述。 [譯者注： 1. 完全圖指的是任意兩個頂點間都有邊相連的圖。 2. 鴿籠原理也叫 Dirichlet 抽屜原理， 它最簡單的版本指的是將 n>k 件東西放入 k 個容器中， 其中至少有一個容器含有多于一件東西。] 最早的 Ramsey 型定理之一 (事實上比 Ramsey 定理還早了幾年) 是 van der Waerden 定理： 給定整數(shù)集的一個有限著色， 其中必有一個單色類包含任意長度算術序列。 van der Waerden 的高度遞歸的證明非常優(yōu)美， 但有一個缺點， 那就是它給出的出現(xiàn)第一個給定長度算術序列的定量下界弱得出奇。 事實上， 這個下界含有序列長度和著色種數(shù)的 Ackermann 函數(shù)。 Erdös 和 Turán 所具有的良好數(shù)學品位， 以及希望在 (當時還是猜想的) 素數(shù)是否包含任意長度算術序列這一問題上獲取進展的企圖， 使他們對這一定量問題做了進一步的探究[注七]。 他們推進了一些很強的猜想， 其中一個成為了 Szemerédi 定理； 另一個則是一個漂亮 (但尚未證明) 的更強的命題， 它聲稱任何一個倒數(shù)和非絕對可和的正整數(shù)集都包含任意長度算術序列。 [譯者注： 1. 譯文 “定量下界” 所對應的原文是比較籠統(tǒng)的 “quantitative bounds” (即未指明是上界還是下界)。 2. Ackermann 函數(shù) A(m,n) (其中 m、 n 為非負整數(shù)) 的遞歸定義是： A(0,n)=n+1； A(m,0)=A(m-1,1)； A(m,n)=A(m-1,A(m,n-1))， 它的增長速度快于任何初等遞歸函數(shù) (包括指數(shù)函數(shù))。 3. Tao 對 Erdös 和 Turán 所提出的 “更強的命題” 的表述略顯冗余， 其中 “非絕對可和” 可簡化為 “非可和” 或 “發(fā)散” (因為他所討論的是正整數(shù)集)。] 在這些猜想上的第一個進展是一系列反例， 最終匯集為 Behrend 對不存在長度 3 算術序列的適度稀疏集 (對于任意給定的 ε， 這個集合在 {1, ..., N} 中的密度漸近地大于 N-ε) 的優(yōu)美構造。 這一構造排除了 Erdös-Turán 猜想中最具野心的部分 (它猜測多項稀疏集包含大量的序列)， 而且還排除了很大一類解決這些問題的方法 (比如那些基于 Cauchy-Schwarz 或 Hölder 之類不等式的方法)。 這些例子雖不能完全解決問題， 但它們表明 Erdös-Turán 猜想若成立， 將需要一個非平凡的 (從而想必是有趣的) 證明。 下一個主要進展來自于 Roth， 他以一種優(yōu)美的方式運用 Hardy-Littlewood 的圓法[注八]及一種新的方法 (密度增量論證)， 確立了 Roth 定理： 每一個密度為正的整數(shù)集都包含無窮多個長度 3 序列。 接下去很自然的就是試圖將 Roth 的方法推廣到更長的序列。 Roth 和許多其他人在這方面花費了好幾年的時間， 卻沒能取得完全的成功。 困難的起因直到很久之后才由于 Gowers 的工作而得到顯現(xiàn)。 問題的解決則依靠了 Endré Szemerédi 的驚人才華， 他重新回到了純粹的組合方法上 (特別是， 把密度增量論證推進到了一個令人矚目的技術復雜度上)， 將 Roth 的結果首先推廣到長度 4[注九]， 然后到任意長度， 從而確立了他的著名定理。 Szemerédi 的證明是一項技術絕活， 它引進了許多新想法和新技巧， 其中最重要的一個是引進了看待極端復雜圖的新方法， 即通過有界復雜模型來取近似。 這一結果， 即著名的 Szemerédi 正規(guī)性引理 (Szemerédi regularity lemma)， 在很多方面都引人注目。 如上所述， 它給出了有關復雜圖結構的全新洞察 (在現(xiàn)代術語中， 這被視為那些圖的結構定理和緊致定理)； 它提供了一種將在本故事后面部分變得至關重要的新的證明方法 [能量增量方法 (energy increment method)]； 它還導致了從圖論到性質(zhì)檢驗到加性組合學的數(shù)量多得難以置信的意外應用。 可惜的是， 正規(guī)性引理的完整故事太過冗長， 無法在這里加以敘述。 [譯者注： 1. 密度增量論證 (density increment argument) 的含義在 下篇 中將有所提及。 2. 性質(zhì)檢驗 (property testing) 是圖論及組合學中一類相當困難的判定問題。 3. 加性組合學 (additive combinatorics) 是一個旨在研究集合中加性結構的數(shù)學分支。] Szemerédi 的成就無疑是本故事的一個重點， 但它絕不是故事的終結。 Szemerédi 對其定理的證明雖然初等， 卻極為復雜、 不易理解。 并且它也沒能完全解決啟發(fā) Erdös 和 Turán 進行研究的原始問題， 因為這一證明本身在兩個關鍵地方用到了 van der Waerden 定理， 從而無法改進該定理中的定量下界。 接下來是 Furstenberg， 他的數(shù)學品位使他試圖尋找一種本質(zhì)上不同的 (高度非初等的[注十]) 證明， 他所依據(jù)的是組合數(shù)論與各態(tài)歷經(jīng)理論之間富有遠見的類比， 這一類比很快被他表述為很有用的 Furstenberg 對應原理。 從這個原理[注十一]人們可以很容易地得出結論： Szemerédi 定理等價于保測體系中的多重回歸定理， 由此可以很自然地直接運用各態(tài)歷經(jīng)理論中的方法， 特別是通過考察這種體系中各種可能的分類及結構分解 (比如各態(tài)歷經(jīng)分解)， 來證明這一定理 (現(xiàn)在被稱為 Furstenberg 回歸定理)。 事實上， Furstenberg 很快建立了 Furstenberg 結構定理， 這一定理把所有保測體系都描述為一個平凡體系的一系列緊致拓展 (compact extension) 的弱混合拓展 (weakly mixing extension)。 在這一定理及幾個附加論證 (包括 van der Waerden 論證的一個變種) 的基礎上可以確立多重回歸定理， 從而給出 Szemerédi 定理的一個新的證明。 同樣值得一提的是 Furstenberg 還撰寫了有關這一領域及相關課題的優(yōu)秀著作， 在對這一領域的成長及發(fā)展做出重大貢獻的同時對基礎理論作了系統(tǒng)的形式化。 |
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jfili
金蟲 (正式寫手)
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Furstenberg 與其合作者隨后意識到這一新方法所具有的強勁潛力可以用來確立許多類型的回歸定理， 后者 (通過對應原理) 又可以產(chǎn)生一些高度非平凡的組合定理。 順著這一思路， Furstenberg、 Katznelson 及其他人獲得了 Szemerédi 定理的許多變種和推廣， 比如高維空間的變種， 他們甚至確立了 Hales-Jewett 定理的密度版本 (這是 van der Waerden 定理的一個非常有力及抽象的推廣)。 這些通過無窮各態(tài)歷經(jīng)理論技巧所獲得的結果中的許多， 人們至今也不知道是否存在 “初等” 證明， 這證實了這種方法的力量。 不僅如此， 作為這些努力的一個有價值的副產(chǎn)品， 人們還獲得了對保測體系結構分類的深刻得多的理解。 特別是， 人們意識到對于許多類型的回歸問題， 一個任意體系的漸進回歸性質(zhì)幾乎完全由該體系的一個特殊因子所控制， 這個因子被稱為該體系的 (最小) 特征因子[注十二]。 確定各類回歸中這一特征因子的精確性質(zhì)于是便成為了研究的焦點， 因為這將導致有關極限行為的更精確的信息 (特別是， 它將顯示與多重回歸有關的某些漸進表達式實際上收斂于一個極限， 這在 Furstenberg 的原始論證中是懸而未決的)。 Furstenberg 和 Weiss 的反例， 及 Conze 和 Lesigne 的結果， 逐漸導致一個結論， 即這些特征因子應該由一個非常特殊的 (代數(shù)型的) 保測體系， 即與冪零群 (nilpotent group) 相聯(lián)系的零系統(tǒng) (nilsystem)， 來描述。 這些結論的集大成者是對這些因子給予精確及嚴格描述的技術上引人注目的 Host 和 Kra 的論文 (及隨后的 Ziegler 的論文)， 它在得到其它一些結果的同時解決了剛才提到的漸進多重回歸平均的收斂性問題。 這些特征因子所扮演的核心角色相當充分地表明了存在于 (由零系統(tǒng)所表示的) 結構與 (由某些技術型的 “混合” 性質(zhì)所刻劃的) 隨機性之間的二向性 (dichotomy)， 以及一種深刻的見解， 即 Szemerédi 定理的力量實際上是源于這一二向性。 Host-Kra 分析的另一個值得一提的特點是平均概念在 “立方體” 或 “超平行體” 中令人矚目的出現(xiàn)， 出于一些原因， 它比與算術序列有關的多重回歸平均更易于分析。 [譯者注： 1. Hales-Jewett 定理的大致內(nèi)容是： 如果用 m 種顏色來給一個邊長為 n 的多維點陣著色， 那么只要點陣的維數(shù)足夠高， 就必定存在同色的長度為 n 的行、 列、 對角線等。 2. “dichotomy” 在數(shù)學與邏輯中通常譯為二分法， 不過在本文中似以譯成 “二向性” 或 “二重性” 為佳， 因為 “二分法” 這一譯名過于強調(diào)兩種性質(zhì)之間的區(qū)分而非聯(lián)系。] 與這些各態(tài)歷經(jīng)理論的進展相平行， 其他數(shù)學家則在尋找用別的方式來理解、 重新證明及改進 Szemerédi 定理。 Ruzsa 和 Szemerédi 取得了一個重要的概念突破， 他們用上面提到的 Szemerédi 正規(guī)性引理確立了一些圖論中的結果， 包括現(xiàn)在被稱為三角消除引理 (triangle removal lemma) 的引理， 其大致內(nèi)容是說一個包含少數(shù)三角形的圖中的三角形可以通過刪除數(shù)目少得令人驚訝的邊而消除。 他們隨后發(fā)現(xiàn)前面提到的 Behrend 例子對這一引理的定量下界給出了某種極限， 特別是它排除了許多類型的初等方法 (因為那些方法通常給出多項式型的下界)， 事實上迄今所知消除引理的所有證明都是通過正規(guī)性引理的某些變種。 將這一聯(lián)系反過來應用， 人們發(fā)現(xiàn)其實三角消除引理蘊含了 Roth 關于長度 3 序列的定理。 這一發(fā)現(xiàn)首次開啟了通過純圖論技巧證明 Szemerédi 型定理的可能性， 從而拋棄了問題中幾乎所有的加性結構 (注意各態(tài)歷經(jīng)方法仍然保留了這一結構， 以作用在系統(tǒng)上的移位算符的面目而出現(xiàn)； Szemerédi 的原始證明也只是部分是圖論的， 因為它在許多不同環(huán)節(jié)用到了序列的加性結構)。 不過， 一段時間之后人們才意識到圖論方法與先于它出現(xiàn)的 Fourier 分析方法在很大程度上局限于檢測象三角形或長度 3 序列那樣的 “低復雜度” 結構， 檢測更長的序列將需要復雜得多的超圖理論。 特別是， 這啟示了 (由 Frankl 和 Rödl 率先提出的) 一個計劃， 意在尋找超圖理論中正規(guī)性引理的類比， 這將足以產(chǎn)生象 Szemerédi 定理 (及其變種和推廣) 那樣的推論。 這被證明是一項復雜得令人吃驚的工作， 尤其是要仔細安排這種正規(guī)化中參數(shù)的等級[注十三]， 使之以正確的順序相互主導。 事實上， 能夠從中推出 Szemerédi 定理的正規(guī)性引理及與之相伴的記數(shù)引理 (counting lemma) 的最終證明直到最近才出現(xiàn)。 Gowers 的很有教益的反例也是值得一提的， 它表明原始的正規(guī)性引理中的定量下界必須至少是塔狀指數(shù)形式 (tower-exponential)， 從而再次顯示這一引理非同尋常的性質(zhì) (和力量)。 [譯者注： 1. 三角形消除引理中的 “少得令人驚訝” 是相對于三角形的數(shù)目而言的， 它指的是用刪除 O(n2) 條邊來消除 O(n3) 個三角形。 2. 超圖 (hypergraph) 是普通圖的推廣， 在其中邊可以連接兩個以上的頂點 (類似于多元關系)。] 自 Roth 之后未曾有實質(zhì)進展的 Fourier 分析方法最終由 Gowers 做了重新考察。 和其它方法一樣， Fourier 分析方法首先確立了整數(shù)集中的二向性， 即他們在某種意義上要么是有結構的， 要么是偽隨機的。 這里的結構這一概念是由 Roth 提出的： 有結構的集合在中等長度算術序列上有一個密度增量， 但有關偽隨機或 “均勻性” 的正確概念卻沒那么清楚。 Gowers 提出了一個反例 (事實上這一反例與前面提到的 Host 與 Kra 的例子有著密切的關系)， 表明以 Fourier 分析為基礎的偽隨機概念對于控制長度 4 或更長的序列是不夠的， 他隨后引進了一個滿足需要的不同的均勻性概念 (與 Host 和 Kra 的立方體平均有很密切的關系， 與某些超圖正規(guī)性的概念也有關系)。 剩下的工作就是為二向性確立一個定量且嚴格的形式。 這卻是一項困難得出人意料的工作 (主要是由于這一方法中 Fourier 變換的效用有限)， 并且在許多方面與 Host-Kra 及 Ziegler 試圖將特征因子賦予零系統(tǒng)代數(shù)結構的努力相類似。 但是， 通過將 Fourier 分析工具與諸如 Freiman 定理和 Balog-Szemerédi 定理等加性組合學的主要結果， 及一些新的組合與概率方法結合在一起， Gowers 用令人矚目的高超技巧成功地完成了這一工作， 他并且得到了有關 Szemerédi 定理和 van der Waerden 定理的非常強的定量下界[注十四]。[譯者注： Freiman 定理是一個有關具有小和集的整數(shù)集中算術序列性質(zhì)的定理 (一個整數(shù)集 A 的和集 A+A 是由該整數(shù)集本身及其中任意兩個數(shù)的和組成的集合， 小和集則是指 |A+A| 總結起來， 人們給出了 Szemerédi 定理的四種平行的證明； 一種是通過直接的組合方法， 一種是通過各態(tài)歷經(jīng)理論， 一種是通過超圖理論， 還有一種是通過 Fourier 分析及加性組合學。 即便有了這么多的證明， 我們依然覺得有關自己對這一結果的理解還不完全。 比方說， 這些方法中沒有一種強到能夠檢測素數(shù)中的序列， 這主要是由于素數(shù)序列的稀疏性 (不過， Fourier 方法， 或更確切地說 Hardy-Littlewood-Vinogradov 圓法， 可以用來證明素數(shù)中存在無窮多長度 3 序列， 并且在付出很大努力后可以部分地描述長度 4 序列)。 但是通過調(diào)和分析中的限制理論 (這是另一個我們將不在這里討論的引人入勝的故事)， Green 能夠將素數(shù) “當成” 稠密來處理， 由此得到了一個有關素數(shù)稠密子集的類似于 Roth 定理的結果。 這為相對 Szemerédi 定理 (relative Szemerédi theorem) 開啟了可能性， 使人們能檢測整數(shù)集以外的其它集合， 比如素數(shù)， 的稠密子集中的算術序列。 事實上， 一個與相當稀疏的隨機集合的稠密子集有關的相對 Roth 定理 (relative Roth theorem) 的原型已經(jīng)出現(xiàn)在了圖論文獻中。 在與 Ben Green 的合作[注十五]中， 我們開始試圖將 Gowers 的 Fourier 分析及組合論證方法相對化到諸如稀疏隨機集合或偽隨機集合的稠密子集這樣的情形中。 經(jīng)過許多努力 (部分地受到超圖理論的啟示， 它已被很好地用來計算稀疏集合中的結構； 也部分地受到 Green 正規(guī)性引理的啟示， 它將圖論中的 “算術正規(guī)性引理” 轉用到了加性理論中)， 我們逐漸能夠 (在一項尚未發(fā)表的工作中) 檢測這類集合中的長度 4 序列。 這時候， 我們意識到了我們所用的正規(guī)性引理與 Host-kra 有關特征因子的構造之間的相似性。 通過對這些構造的置換[注十六] (特別依賴于立方體平均)， 我們可以確立一個令人滿意的相對 Szemerédi 定理， 它依賴于一個特定的轉化原理 (transference principle)， 粗略地說， 該原理斷言稀疏偽隨機集合的稠密子集的行為 “就好比” 它們在初始集合中就是稠密的。 為了將這一定理應用于素數(shù)， 我們需要將素數(shù)包裹在一個適當?shù)膫坞S機集合 (或者更確切地說， 偽隨機測度) 中。 對我們來說很偶然的是， Goldston 和 Yildirim 最近有關素數(shù)隙的突破[注十七][注十八]幾乎恰好構造了我們所需要的東西， 使我們最終確立了早年的猜想， 即素數(shù)集包含任意長度的算術序列。 [譯者注： 1. 這里提到的 Tao 與 Green 合作所得的結果 “素數(shù)集包含任意長度的算術序列” 被稱為 Green-Tao 定理。 2. 這里提到的 Goldston 和 Yildirim 的工作， 及原文 [注十七] 提到的故事可參閱拙作 孿生素數(shù)猜想 及該文末尾的補注。] 故事到這里仍未結束， 而是繼續(xù)沿幾個方向發(fā)展著。 一方面轉化原理現(xiàn)在已經(jīng)有了一些進一步的應用， 比如獲得高斯素數(shù)中的組團 (constellation) 或有理素數(shù)中的多項序列。 另一個很有前途的研究方向是 Fourier 分析、 超圖理論及各態(tài)歷經(jīng)方法的彼此匯聚， 比如發(fā)展圖論與超圖理論的無窮版本 (它在其它數(shù)學領域， 如性質(zhì)檢驗， 中也有應用)， 或各態(tài)歷經(jīng)理論的有限版本。 第三個方向是使控制各態(tài)歷經(jīng)情形下的回歸的零系統(tǒng)也能控制算術序列的各種有限平均。 特別是， Green 和我正在積極地計算素數(shù)及由零系統(tǒng) (通過 Vinogradov 方法) 產(chǎn)生的序列之間的關聯(lián)， 以便確立能夠在素數(shù)中找到的各種結構的精確漸進形式。 最后， 但并非最不重要的是最初的 Erdös-Turán 猜想， 它在所有這些進展之后仍未得到解決， 不過現(xiàn)在 Bourgain 已經(jīng)取得了一些非常有希望的進展， 這應該能引導出進一步的發(fā)展。 [譯者注： 1. 高斯素數(shù) (Gaussian prime) 是素數(shù)概念在高斯整數(shù)集 (即形如 m+ni 的復數(shù)組成的集合， 其中 m、 n 均為整數(shù)) 中的推廣。 2. 有理素數(shù) (rational prime) 是普通素數(shù)在高斯整數(shù)集中的稱謂。] 3. 結論 如我們在上述個例研究中可以看到的， 好數(shù)學的最佳例子不僅滿足本文開頭所列舉的數(shù)學品質(zhì)判據(jù)中的一項或多項， 更重要的， 它是一個更宏大的數(shù)學故事的一部分， 那個故事的展開將產(chǎn)生許多不同類型的進一步的好數(shù)學。 實際上， 人們可以將整個數(shù)學領域的歷史看成是主要由少數(shù)幾個這類好故事隨時間的演化及相互影響所產(chǎn)生的。 因此我的結論是， 好數(shù)學不僅僅是用前面列舉的一個或幾個 “局部” 品質(zhì)來衡量的 (盡管那些品質(zhì)無疑是重要且值得追求與爭論的)， 還要依賴于它如何通過繼承以前的成果或鼓勵后續(xù)發(fā)展來與其它好數(shù)學相匹配這樣更 “全局” 的問題。 當然， 如果不憑借后見之利， 要確切地預言什么樣的數(shù)學會具有這種品質(zhì)是困難的。 不過實際上似乎存在某種無法定義的感覺， 使我們能感覺到某項數(shù)學成果 “觸及了什么東西”， 是一個有待進一步探索的更大謎團的一部分。 在我看來， 追求這種對發(fā)展?jié)摿Φ碾y以言狀的保障， 對數(shù)學進展來說起碼是與前面列舉的更具體更顯然的數(shù)學品質(zhì)同等重要的。 因此我相信， 好數(shù)學并不是單純的解題、 構筑理論、 對論證進行簡化、 強化、 明晰化、 使論證更優(yōu)美、 更嚴格， 盡管這些無疑都是很好的目標。 在完成所有這些任務 (及爭論一個給定領域中哪一個應該有較高的優(yōu)先權) 的同時， 我們應該關注我們的結果所可能從屬的任何更大的范圍， 因為那很可能會對我們的結果、 相應的領域， 乃至整個數(shù)學產(chǎn)生最大的長期利益。 4. 鳴謝 感謝 Laura Kim 閱讀并評論本文的早期文稿， 以及 Gil Kalai 的許多深思熟慮的評論與建議。 原文注釋 [注一] 上述列舉無意以完備自居。 尤其是， 它主要著眼于研究性數(shù)學文獻中的數(shù)學， 而非課堂、 教材或自然科學等接近數(shù)學的學科中的數(shù)學。 [注二] 特別值得指出的是數(shù)學嚴格性雖然非常重要， 卻只是界定高品質(zhì)數(shù)學的因素之一。 [注三] 一個相關的困難是， 除了數(shù)學嚴格性這一引人注目的例外， 上述品質(zhì)大都有點主觀， 因而含有某種不精確性與不確定性。 我們感謝 Gil Kalai 強調(diào)了這一點。 [注四] 稀缺資源的例子包括錢、 時間、 注意力、 才能及頂尖刊物的版面。 [注五] 這一問題的另一個解決方法是利用數(shù)學資源也是多維這一事實。 比如人們可以為展示、 創(chuàng)造性等等設立獎項， 或為不同類型的成果設立不同的雜志。 我感謝 Gil Kalai 對這一點的洞察。 [注六] 這一現(xiàn)象與 Wigner 所發(fā)現(xiàn)的 “數(shù)學的不合理有效性” (unreasonable effectiveness of mathematics) 有一定的關聯(lián)。 [譯者注： Wigner 的這一說法見于他 1960 年發(fā)表的文章 "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences"。] [注七] Erdös 也研究了 Ramsey 原始定理中的定量下界， 由此導致的結果中包括了對在組合學中極其重要的概率方法的確立， 不過這本身就是一個很長的故事， 我們沒有足夠的篇幅在這里討論。 [注八] 同樣， 圓法的歷史也是一段我們無法細述的精彩故事。 不過只要提這樣一點就足夠了， 那便是用現(xiàn)代語言來說， 這一方法是 “Fourier 分析是解決加性組合學問題的重要工具” 這一現(xiàn)代標準見解的一部分。 [注九] 在這之后， Roth 很快就將 Szemerédi 的想法與他自己的 Fourier 分析方法組合在一起， 給出了針對長度 4 序列的 Szemerédi 定理的混合證明。 [注十] 比方說， 某些版本的 Furstenberg 論證嚴重依賴于選擇公理， 盡管將之修改為不依賴選擇公理也是可能的。 [注十一] 對拓撲動力系統(tǒng)也存在類似的對應原理將 van der Waerden 定理與多重回歸定理等價起來。 這引出了有關拓撲動力學的迷人故事。 [注十二] 這方面的早期例子是 von Neumann 的平均各態(tài)歷經(jīng)定理， 在其中移位不變函數(shù) (shift-invariant function) 的因子控制了移位簡單平均的極限行為。 [注十三] 這一等級看來與 Furstenberg 在其使保測體系 “正規(guī)化” 的類似探索中所遇到的一系列拓展有關， 盡管我們現(xiàn)在對其確切關聯(lián)還了解得很少。 [注十四] 同樣值得一提的是 Shelah 有關 van der Waerden 定理的杰出的創(chuàng)造性證明， 它曾經(jīng)保持著有關這一定理的最佳常數(shù)的紀錄。 [注十五] 順便說一下， 我最初被這些問題所吸引是因為它們與另一個重大的數(shù)學故事， 我們在此處沒有篇幅討論的 Kakeya 猜想， 之間的聯(lián)系。 它們與前面提到的有關限制理論的故事之間的關系則是多少有點出人意料的。 [注十六] 出于幾個原因， 這里有一點技巧性。 最明顯的是各態(tài)歷經(jīng)構造本質(zhì)上是無窮的， 但為了處理素數(shù)卻必須在有限的情況下使用。 幸運的是， 我曾經(jīng)嘗試過將各態(tài)歷經(jīng)方法有限化以便應用于 Szemerédi 定理。 雖然那一嘗試在當時并不完全， 但后來發(fā)現(xiàn)它足以對我們研究素數(shù)提供幫助。 [注十七] 在我們寫論文的時候， 我們所采用的構造來自于 Goldston 和 Yıldırım 的一篇文章， 那篇文章曾因為一個與我們工作無關的缺陷而被他們收回， 后來他們通過一些聰明的新想法彌補了缺陷。 這對我們前面提到的一個觀點， 即一項數(shù)學工作不一定要在所有細節(jié)上都絕對正確才能對未來的 (嚴密) 工作有所助益， 是一種支持。 [注十八] 有關素數(shù)隙的故事也是一個我們無法在這里講述的有趣的故事。 附錄： Alain Connes 的評論 (2007-02-19) (發(fā)表于 group blog "Noncommutative Geometry" ， 標題為 “Good Mathematics?”) ... ... 很難評論 Tao 的這篇文章， 第二部分有關 Szemeredi 定理的個例不錯且很有趣， 但第一部分有那種藝術家試圖通過一系列標準來定義美的痛苦意味。 這種類型的判斷是如此主觀， 我很真切地感到除了顯而易見的傲慢自大外沒學到任何東西 ... ... [譯者注： Connes 提到的這種 “傲慢自大” Tao 自己也提到了， 并試圖予以說明 (本譯文第一節(jié)最后兩段)， 但看來說明是徒勞的。 還是 Hardy 看得比較透徹， 他說： “對一位職業(yè)數(shù)學家來說， 發(fā)覺自己在 writing about mathematics 是一種郁悶的感覺”， Hardy 自己雖然也做了這件 “郁悶” 的事， 但那時他已經(jīng) 63 歲， 比 Tao 大了一倍。] 二零零七年三月十一日譯于紐約 http://www.changhai.org |
2樓2011-08-25 10:32:15
pengyehui
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