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jfili金蟲 (正式寫手)
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[交流]
什么是好數(shù)學(xué)？ 已有2人參與
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作者：Terence Tao 譯者：盧昌海 譯者序： 本文譯自澳大利亞數(shù)學(xué)家 Terence Tao 的近作 “What is Good Mathematics?”。 Tao 是調(diào)和分析、 微分方程、 組合數(shù)學(xué)、 解析數(shù)論等領(lǐng)域的大師級(jí)的年輕高手。 2006 年， 31 歲的 Tao 獲得了數(shù)學(xué)界的最高獎(jiǎng) Fields 獎(jiǎng)， 成為該獎(jiǎng)項(xiàng)七十年來最年輕的獲獎(jiǎng)?wù)咧弧?美國數(shù)學(xué)學(xué)會(huì) (AMS) 對(duì) Tao 的評(píng)價(jià)是： “他將精純的技巧、 超凡入圣的獨(dú)創(chuàng)及令人驚訝的自然觀點(diǎn)融為一體”。 著名數(shù)學(xué)家 Charles Fefferman (1978 年的 Fields 獎(jiǎng)得主) 的評(píng)價(jià)則是： “如果你有解決不了的問題， 那么找到出路的辦法之一就是引起 Terence Tao 的興趣”。 Tao 雖然已經(jīng)具有了世界性的聲譽(yù)， 但由于他的年輕， 多數(shù)人 (尤其是數(shù)學(xué)界以外的人) 對(duì)他的了解仍很有限。 Tao 的這篇短文在一定程度上闡述了他的數(shù)學(xué)觀， 在這一點(diǎn)上類似于英國數(shù)學(xué)家 Godfrey Hardy 的名著《A Mathematician's Apology》， 相信會(huì)讓許多讀者感興趣 (如果哪位讀者想接受 Fefferman 的忠告， 讓自己的問題有朝一日引起 Tao 的興趣， 那么讀一讀這篇文章可能會(huì)有所助益:-)。 不過 Tao 的這篇文章遠(yuǎn)比《A Mathematician's Apology》難讀得多。 從表面上看， 它不帶任何數(shù)學(xué)公式， 這點(diǎn)甚至比《A Mathematician's Apology》做得更為徹底 (后者還帶有一些 12+12=2 之類的數(shù)學(xué)公式)， 但實(shí)際上， 文章的主要部分 - 即第二節(jié) (對(duì)應(yīng)于譯文 中篇 的全部及 下篇 的大部分) - 所涉及的數(shù)學(xué)概念相當(dāng)密集， 足以給非數(shù)學(xué)專業(yè)的讀者造成很大的困難， 因此譯文對(duì)譯者知識(shí)所及且能用簡(jiǎn)短方式加以說明的若干概念進(jìn)行了注釋。 本譯文略去了原文的摘要、 文獻(xiàn)及正文中單純與文獻(xiàn)有關(guān)的個(gè)別文句 (即諸如 “感興趣的讀者請(qǐng)參閱某某文獻(xiàn)” 之類的文句)。 本譯文末尾附有 Alain Connes (1982 年的 Fields 獎(jiǎng)得主) 在一篇 blog 文字中對(duì) Tao 這篇文章的 負(fù)面評(píng)論。 1. 數(shù)學(xué)品質(zhì)的諸多方面 我們都認(rèn)為數(shù)學(xué)家應(yīng)該努力創(chuàng)造好數(shù)學(xué)。 但 “好數(shù)學(xué)” 該如何定義？ 甚至是否該斗膽試圖加以定義呢？ 讓我們先考慮前一個(gè)問題。 我們幾乎立刻能夠意識(shí)到有許多不同種類的數(shù)學(xué)都可以被稱為是 “好” 的。 比方說， “好數(shù)學(xué)” 可以指 (不分先后順序)： 好的數(shù)學(xué)題解 (比如在一個(gè)重要數(shù)學(xué)問題上的重大突破)； 好的數(shù)學(xué)技巧 (比如對(duì)現(xiàn)有方法的精湛運(yùn)用， 或發(fā)展新的工具)； 好的數(shù)學(xué)理論 (比如系統(tǒng)性地統(tǒng)一或推廣一系列現(xiàn)有結(jié)果的概念框架或符號(hào)選擇)； 好的數(shù)學(xué)洞察 (比如一個(gè)重要的概念簡(jiǎn)化， 或?qū)σ粋�(gè)統(tǒng)一的原理、 啟示、 類比或主題的實(shí)現(xiàn))； 好的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn) (比如對(duì)一個(gè)出人意料、 引人入勝的新的數(shù)學(xué)現(xiàn)象、 關(guān)聯(lián)或反例的揭示)； 好的數(shù)學(xué)應(yīng)用 (比如應(yīng)用于物理、 工程、 計(jì)算機(jī)科學(xué)、 統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域的重要問題， 或?qū)⒁粋�(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的結(jié)果應(yīng)用于另一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域)； 好的數(shù)學(xué)展示 (比如對(duì)新近數(shù)學(xué)課題的詳盡而廣博的概覽， 或一個(gè)清晰而動(dòng)機(jī)合理的論證)； 好的數(shù)學(xué)教學(xué) (比如能讓他人更有效地學(xué)習(xí)及研究數(shù)學(xué)的講義或?qū)懽黠L(fēng)格， 或?qū)?shù)學(xué)教育的貢獻(xiàn))； 好的數(shù)學(xué)遠(yuǎn)見 (比如富有成效的長遠(yuǎn)計(jì)劃或猜想)； 好的數(shù)學(xué)品味 (比如自身有趣且對(duì)重要課題、 主題或問題有影響的研究目標(biāo))； 好的數(shù)學(xué)公關(guān) (比如向非數(shù)學(xué)家或另一個(gè)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家有效地展示數(shù)學(xué)成就)； 好的元數(shù)學(xué) (比如數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、 哲學(xué)、 歷史、 學(xué)識(shí)或?qū)嵺`方面的進(jìn)展)； [譯者注： 此處 “元數(shù)學(xué)” 譯自 “meta-mathematics”， 不過這里所舉的有些內(nèi)容， 如歷史、 實(shí)踐等， 通常并不屬于元數(shù)學(xué)的范疇。] 嚴(yán)密的數(shù)學(xué) (所有細(xì)節(jié)都正確、 細(xì)致而完整地給出)； 美麗的數(shù)學(xué) (比如 Ramanujan 的令人驚奇的恒等式； 陳述簡(jiǎn)單漂亮， 證明卻很困難的結(jié)果)； 優(yōu)美的數(shù)學(xué) (比如 Paul Erdős 的 “來自天書的證明” 觀念； 通過最少的努力得到困難的結(jié)果)； [譯者注： “來自天書的證明” 譯自 “proofs from the Book”。 Paul Erdős 喜歡將最優(yōu)美的數(shù)學(xué)證明說成是來自 “The Book” (我將之譯為 “天書”)， 他有這樣一句名言： 你不一定要相信上帝， 但應(yīng)該相信 “The Book”。 Erdős 去世后的第三年， 即 1998 年， Martin Aigner 和 Günter M. Ziegler 以《來自天書的證明》為書名出版了一本書， 收錄了幾十個(gè)優(yōu)美的數(shù)學(xué)證明， 以紀(jì)念 Erdős。] 創(chuàng)造性的數(shù)學(xué) (比如本質(zhì)上新穎的原創(chuàng)技巧、 觀點(diǎn)或各類結(jié)果)； 有用的數(shù)學(xué) (比如會(huì)在某個(gè)領(lǐng)域的未來工作中被反復(fù)用到的引理或方法)； 強(qiáng)有力的數(shù)學(xué) (比如與一個(gè)已知反例相匹配的敏銳的結(jié)果， 或從一個(gè)看起來很弱的假設(shè)推出一個(gè)強(qiáng)得出乎意料的結(jié)論)； 深刻的數(shù)學(xué) (比如一個(gè)明顯非平凡的結(jié)果， 比如理解一個(gè)無法用更初等的方法接近的微妙現(xiàn)象)； 直觀的數(shù)學(xué) (比如一個(gè)自然的、 容易形象化的論證)； 明確的數(shù)學(xué) (比如對(duì)某一類型的所有客體的分類； 對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)課題的結(jié)論)； 其它[注一]。 如上所述， 數(shù)學(xué)品質(zhì)這一概念是一個(gè)高維的 (high-dimensional) 概念， 并且不存在顯而易見的標(biāo)準(zhǔn)排序[注二]。 我相信這是由于數(shù)學(xué)本身就是復(fù)雜和高維的， 并且會(huì)以一種自我調(diào)整及難以預(yù)料的方式而演化； 上述每種品質(zhì)都代表了我們作為一個(gè)群體增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)的理解及運(yùn)用的不同方式。 至于上述品質(zhì)的相對(duì)重要性或權(quán)重， 看來并無普遍的共識(shí)。 這部分地是由于技術(shù)上的考慮： 一個(gè)特定時(shí)期的某個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展也許更易于接納一種特殊的方法； 部分地也是由于文化上的考慮： 任何一個(gè)特定的數(shù)學(xué)領(lǐng)域或?qū)W派都傾向于吸引具有相似思維、 喜愛相似方法的數(shù)學(xué)家。 它同時(shí)也反映了數(shù)學(xué)能力的多樣性： 不同的數(shù)學(xué)家往往擅長不同的風(fēng)格， 因而適應(yīng)不同類型的數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)。 我相信 “好數(shù)學(xué)” 的這種多樣性和差異性對(duì)于整個(gè)數(shù)學(xué)來說是非常健康的， 因?yàn)樗试S我們?cè)谧非蟾嗟臄?shù)學(xué)進(jìn)展及更好的理解數(shù)學(xué)這一共同目標(biāo)上采取許多不同的方法， 并開發(fā)許多不同的數(shù)學(xué)天賦。 雖然上述每種品質(zhì)都被普遍接受為是數(shù)學(xué)所需要的品質(zhì)， 但犧牲其它所有品質(zhì)為代價(jià)來單獨(dú)追求其中一兩種卻有可能變成對(duì)一個(gè)領(lǐng)域的危害。 考慮下列假想的 (有點(diǎn)夸張的) 情形： 一個(gè)領(lǐng)域變得越來越華麗怪異， 在其中各種單獨(dú)的結(jié)果為推廣而推廣， 為精致而精致， 而整個(gè)領(lǐng)域卻在毫無明確目標(biāo)和前進(jìn)感地隨意漂流。 一個(gè)領(lǐng)域變得被令人驚駭?shù)牟孪胨涑猓?卻毫無希望在其中任何一個(gè)猜想上取得嚴(yán)格進(jìn)展。 一個(gè)領(lǐng)域變得主要通過特殊方法來解決一群互不關(guān)聯(lián)的問題， 卻沒有統(tǒng)一的主題、 聯(lián)系或目的。 一個(gè)領(lǐng)域變得過于枯燥和理論化， 不斷用技術(shù)上越來越形式化的框架來重鑄和統(tǒng)一以前的結(jié)果， 后果卻是不產(chǎn)生任何令人激動(dòng)的新突破。 一個(gè)領(lǐng)域崇尚經(jīng)典結(jié)果， 不斷給出這些結(jié)果的更短、 更簡(jiǎn)單及更優(yōu)美的證明， 但卻不產(chǎn)生任何經(jīng)典著作以外的真正原創(chuàng)的新結(jié)果。 在上述每種情形下， 有關(guān)領(lǐng)域會(huì)在短期內(nèi)出現(xiàn)大量的工作和進(jìn)展， 但從長遠(yuǎn)看卻有邊緣化和無法吸引更年輕的數(shù)學(xué)家的危險(xiǎn)。 幸運(yùn)的是， 當(dāng)一個(gè)領(lǐng)域不斷接受挑戰(zhàn)， 并因其與其它數(shù)學(xué)領(lǐng)域 (或相關(guān)學(xué)科) 的關(guān)聯(lián)而獲得新生， 或受到并尊重多種 “好數(shù)學(xué)” 的文化熏陶時(shí)， 它不太可能會(huì)以這種方式而衰落。 這些自我糾錯(cuò)機(jī)制有助于使數(shù)學(xué)保持平衡、 統(tǒng)一、 多產(chǎn)和活躍。 現(xiàn)在讓我們轉(zhuǎn)而考慮前面提出的另一個(gè)問題， 即我們到底該不該試圖對(duì) “好數(shù)學(xué)” 下定義。 下定義有讓我們變得傲慢自大的危險(xiǎn)， 特別是， 我們有可能因?yàn)橐粋�(gè)真正數(shù)學(xué)進(jìn)展的奇異個(gè)例不滿足主流定義[注三]而忽視它。 另一方面， 相反的觀點(diǎn) - 即在任何數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中所有方法都同樣適用并該得到同樣資源[注四]， 或所有數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)都同樣重要 - 也是有風(fēng)險(xiǎn)的。 那樣的觀點(diǎn)就其理想主義而言也許是令人欽佩的， 但它侵蝕了數(shù)學(xué)的方向感和目的感， 并且還可能導(dǎo)致數(shù)學(xué)資源的不合理分配[注五]。 真實(shí)的情形處于兩者之間， 對(duì)于每個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域， 現(xiàn)存的結(jié)果、 傳統(tǒng)、 直覺和經(jīng)驗(yàn) (或它們的缺失) 預(yù)示著哪種方法可能會(huì)富有成效， 從而應(yīng)當(dāng)?shù)玫酱蠖鄶?shù)的資源； 那種方法更具試探性， 從而或許只要少數(shù)有獨(dú)立頭腦的數(shù)學(xué)家去進(jìn)行探究以避免遺漏。 比方說， 在已經(jīng)發(fā)展成熟的領(lǐng)域， 比較合理的做法也許是追求系統(tǒng)方案， 以嚴(yán)格的方式發(fā)展普遍理論， 穩(wěn)妥地延用卓有成效的方法及業(yè)已確立的直覺； 而在較新的、 不太穩(wěn)定的領(lǐng)域， 更應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的也許是提出和解決猜想， 嘗試不同的方法， 以及在一定程度上依賴不嚴(yán)格的啟示和類比。 因此， 從策略上講比較合理的做法是， 在每個(gè)領(lǐng)域內(nèi)就數(shù)學(xué)進(jìn)展中什么品質(zhì)最應(yīng)該受到鼓勵(lì)做一個(gè)起碼是部分的 (但與時(shí)俱進(jìn)的) 調(diào)查， 以便在該領(lǐng)域的每個(gè)發(fā)展階段都能最有效地發(fā)展和推進(jìn)該領(lǐng)域。 比方說， 某個(gè)領(lǐng)域也許急需解決一些緊迫的問題； 另一個(gè)領(lǐng)域也許在翹首以待一個(gè)可以理順大量已有成果的理論框架， 或一個(gè)宏大的方案或一系列猜想來激發(fā)新的結(jié)果； 其它領(lǐng)域則也許會(huì)從對(duì)關(guān)鍵定理的新的、 更簡(jiǎn)單及更概念化的證明中獲益匪淺； 而更多的領(lǐng)域也許需要更大的公開性， 以及關(guān)于其課題的透徹介紹， 以吸引更多的興趣和參與。 因此， 對(duì)什么是好數(shù)學(xué)的確定會(huì)并且也應(yīng)當(dāng)高度依賴一個(gè)領(lǐng)域自身的狀況。 這種確定還應(yīng)當(dāng)不斷地更新與爭(zhēng)論， 無論是在領(lǐng)域內(nèi)還是從通過旁觀者。 如前所述， 有關(guān)一個(gè)領(lǐng)域應(yīng)當(dāng)如何發(fā)展的調(diào)查， 若不及時(shí)檢驗(yàn)和更正， 很有可能會(huì)導(dǎo)致該領(lǐng)域內(nèi)的不平衡。 上面的討論似乎表明評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)品質(zhì)雖然重要， 卻是一件復(fù)雜得毫無希望的事情， 特別是由于許多好的數(shù)學(xué)成就在上述某些品質(zhì)上或許得分很高， 在其它品質(zhì)上卻不然； 同時(shí)， 這些品質(zhì)中有許多是主觀而難以精確度量的 (除非是事后諸葛)。 然而， 一個(gè)令人矚目的現(xiàn)象是[注六]： 上述一種意義上的好數(shù)學(xué)往往傾向于引致許多其它意義上的好數(shù)學(xué)， 由此產(chǎn)生了一個(gè)試探性的猜測(cè)， 即有關(guān)高品質(zhì)數(shù)學(xué)的普遍觀念也許畢竟還是存在的， 上述所有特定衡量標(biāo)準(zhǔn)都代表了發(fā)現(xiàn)新數(shù)學(xué)的不同途徑， 或一個(gè)數(shù)學(xué)故事發(fā)展過程中的不同階段或方面。 2. 個(gè)例研究： Szemerédi 定理 現(xiàn)在我們從一般轉(zhuǎn)向特殊， 通過考察 Szemerédi 定理 - 那個(gè)聲稱任何具有正 (上) 密度的整數(shù)子集必定包含任意長度算術(shù)序列的漂亮而著名的結(jié)果 - 的內(nèi)容及歷史來說明上段所述的現(xiàn)象。 這里我將避免所有的技術(shù)細(xì)節(jié)。 [譯者注： 1. 整數(shù)子集 A 的 “上” 密度， 指的是 lim supN→∞ |A∩[-N,N]|/2N， 其中序列 aN 的上極限 lim supN→∞ aN 定義為 AN=supk≥N ak 的極限。 2. 算術(shù)序列 (在后文中有時(shí)被簡(jiǎn)稱為序列) 指的是由整數(shù)組成的等差序列， 序列中的整數(shù)個(gè)數(shù)稱為算術(shù)序列的長度。] 這個(gè)故事有許多個(gè)自然的切入點(diǎn)。 我將從 Ramsey 定理 - 任何有限著色的足夠大的完全圖必定包含大的單色完全子圖 (比如任意六人中必有三人要么彼此相識(shí)， 要么彼此陌生， 假定 “相識(shí)” 是一個(gè)有良好定義的對(duì)稱關(guān)系) - 開始。 這個(gè)很容易證明 (無需用到比迭代鴿籠原理更多的東西) 的結(jié)果代表了一種新現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)， 并且開辟了一系列新的數(shù)學(xué)結(jié)果： Ramsey 型定理。 這些定理中的每一個(gè)都是數(shù)學(xué)上一個(gè)新近洞察的觀點(diǎn) “完全無序是不可能的” 的不同表述。 [譯者注： 1. 完全圖指的是任意兩個(gè)頂點(diǎn)間都有邊相連的圖。 2. 鴿籠原理也叫 Dirichlet 抽屜原理， 它最簡(jiǎn)單的版本指的是將 n>k 件東西放入 k 個(gè)容器中， 其中至少有一個(gè)容器含有多于一件東西。] 最早的 Ramsey 型定理之一 (事實(shí)上比 Ramsey 定理還早了幾年) 是 van der Waerden 定理： 給定整數(shù)集的一個(gè)有限著色， 其中必有一個(gè)單色類包含任意長度算術(shù)序列。 van der Waerden 的高度遞歸的證明非常優(yōu)美， 但有一個(gè)缺點(diǎn)， 那就是它給出的出現(xiàn)第一個(gè)給定長度算術(shù)序列的定量下界弱得出奇。 事實(shí)上， 這個(gè)下界含有序列長度和著色種數(shù)的 Ackermann 函數(shù)。 Erdös 和 Turán 所具有的良好數(shù)學(xué)品位， 以及希望在 (當(dāng)時(shí)還是猜想的) 素?cái)?shù)是否包含任意長度算術(shù)序列這一問題上獲取進(jìn)展的企圖， 使他們對(duì)這一定量問題做了進(jìn)一步的探究[注七]。 他們推進(jìn)了一些很強(qiáng)的猜想， 其中一個(gè)成為了 Szemerédi 定理； 另一個(gè)則是一個(gè)漂亮 (但尚未證明) 的更強(qiáng)的命題， 它聲稱任何一個(gè)倒數(shù)和非絕對(duì)可和的正整數(shù)集都包含任意長度算術(shù)序列。 [譯者注： 1. 譯文 “定量下界” 所對(duì)應(yīng)的原文是比較籠統(tǒng)的 “quantitative bounds” (即未指明是上界還是下界)。 2. Ackermann 函數(shù) A(m,n) (其中 m、 n 為非負(fù)整數(shù)) 的遞歸定義是： A(0,n)=n+1； A(m,0)=A(m-1,1)； A(m,n)=A(m-1,A(m,n-1))， 它的增長速度快于任何初等遞歸函數(shù) (包括指數(shù)函數(shù))。 3. Tao 對(duì) Erdös 和 Turán 所提出的 “更強(qiáng)的命題” 的表述略顯冗余， 其中 “非絕對(duì)可和” 可簡(jiǎn)化為 “非可和” 或 “發(fā)散” (因?yàn)樗懻摰氖钦麛?shù)集)。] 在這些猜想上的第一個(gè)進(jìn)展是一系列反例， 最終匯集為 Behrend 對(duì)不存在長度 3 算術(shù)序列的適度稀疏集 (對(duì)于任意給定的 ε， 這個(gè)集合在 {1, ..., N} 中的密度漸近地大于 N-ε) 的優(yōu)美構(gòu)造。 這一構(gòu)造排除了 Erdös-Turán 猜想中最具野心的部分 (它猜測(cè)多項(xiàng)稀疏集包含大量的序列)， 而且還排除了很大一類解決這些問題的方法 (比如那些基于 Cauchy-Schwarz 或 Hölder 之類不等式的方法)。 這些例子雖不能完全解決問題， 但它們表明 Erdös-Turán 猜想若成立， 將需要一個(gè)非平凡的 (從而想必是有趣的) 證明。 下一個(gè)主要進(jìn)展來自于 Roth， 他以一種優(yōu)美的方式運(yùn)用 Hardy-Littlewood 的圓法[注八]及一種新的方法 (密度增量論證)， 確立了 Roth 定理： 每一個(gè)密度為正的整數(shù)集都包含無窮多個(gè)長度 3 序列。 接下去很自然的就是試圖將 Roth 的方法推廣到更長的序列。 Roth 和許多其他人在這方面花費(fèi)了好幾年的時(shí)間， 卻沒能取得完全的成功。 困難的起因直到很久之后才由于 Gowers 的工作而得到顯現(xiàn)。 問題的解決則依靠了 Endré Szemerédi 的驚人才華， 他重新回到了純粹的組合方法上 (特別是， 把密度增量論證推進(jìn)到了一個(gè)令人矚目的技術(shù)復(fù)雜度上)， 將 Roth 的結(jié)果首先推廣到長度 4[注九]， 然后到任意長度， 從而確立了他的著名定理。 Szemerédi 的證明是一項(xiàng)技術(shù)絕活， 它引進(jìn)了許多新想法和新技巧， 其中最重要的一個(gè)是引進(jìn)了看待極端復(fù)雜圖的新方法， 即通過有界復(fù)雜模型來取近似。 這一結(jié)果， 即著名的 Szemerédi 正規(guī)性引理 (Szemerédi regularity lemma)， 在很多方面都引人注目。 如上所述， 它給出了有關(guān)復(fù)雜圖結(jié)構(gòu)的全新洞察 (在現(xiàn)代術(shù)語中， 這被視為那些圖的結(jié)構(gòu)定理和緊致定理)； 它提供了一種將在本故事后面部分變得至關(guān)重要的新的證明方法 [能量增量方法 (energy increment method)]； 它還導(dǎo)致了從圖論到性質(zhì)檢驗(yàn)到加性組合學(xué)的數(shù)量多得難以置信的意外應(yīng)用。 可惜的是， 正規(guī)性引理的完整故事太過冗長， 無法在這里加以敘述。 [譯者注： 1. 密度增量論證 (density increment argument) 的含義在 下篇 中將有所提及。 2. 性質(zhì)檢驗(yàn) (property testing) 是圖論及組合學(xué)中一類相當(dāng)困難的判定問題。 3. 加性組合學(xué) (additive combinatorics) 是一個(gè)旨在研究集合中加性結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)分支。] Szemerédi 的成就無疑是本故事的一個(gè)重點(diǎn)， 但它絕不是故事的終結(jié)。 Szemerédi 對(duì)其定理的證明雖然初等， 卻極為復(fù)雜、 不易理解。 并且它也沒能完全解決啟發(fā) Erdös 和 Turán 進(jìn)行研究的原始問題， 因?yàn)檫@一證明本身在兩個(gè)關(guān)鍵地方用到了 van der Waerden 定理， 從而無法改進(jìn)該定理中的定量下界。 接下來是 Furstenberg， 他的數(shù)學(xué)品位使他試圖尋找一種本質(zhì)上不同的 (高度非初等的[注十]) 證明， 他所依據(jù)的是組合數(shù)論與各態(tài)歷經(jīng)理論之間富有遠(yuǎn)見的類比， 這一類比很快被他表述為很有用的 Furstenberg 對(duì)應(yīng)原理。 從這個(gè)原理[注十一]人們可以很容易地得出結(jié)論： Szemerédi 定理等價(jià)于保測(cè)體系中的多重回歸定理， 由此可以很自然地直接運(yùn)用各態(tài)歷經(jīng)理論中的方法， 特別是通過考察這種體系中各種可能的分類及結(jié)構(gòu)分解 (比如各態(tài)歷經(jīng)分解)， 來證明這一定理 (現(xiàn)在被稱為 Furstenberg 回歸定理)。 事實(shí)上， Furstenberg 很快建立了 Furstenberg 結(jié)構(gòu)定理， 這一定理把所有保測(cè)體系都描述為一個(gè)平凡體系的一系列緊致拓展 (compact extension) 的弱混合拓展 (weakly mixing extension)。 在這一定理及幾個(gè)附加論證 (包括 van der Waerden 論證的一個(gè)變種) 的基礎(chǔ)上可以確立多重回歸定理， 從而給出 Szemerédi 定理的一個(gè)新的證明。 同樣值得一提的是 Furstenberg 還撰寫了有關(guān)這一領(lǐng)域及相關(guān)課題的優(yōu)秀著作， 在對(duì)這一領(lǐng)域的成長及發(fā)展做出重大貢獻(xiàn)的同時(shí)對(duì)基礎(chǔ)理論作了系統(tǒng)的形式化。 |
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xiuyouxu
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Furstenberg 與其合作者隨后意識(shí)到這一新方法所具有的強(qiáng)勁潛力可以用來確立許多類型的回歸定理， 后者 (通過對(duì)應(yīng)原理) 又可以產(chǎn)生一些高度非平凡的組合定理。 順著這一思路， Furstenberg、 Katznelson 及其他人獲得了 Szemerédi 定理的許多變種和推廣， 比如高維空間的變種， 他們甚至確立了 Hales-Jewett 定理的密度版本 (這是 van der Waerden 定理的一個(gè)非常有力及抽象的推廣)。 這些通過無窮各態(tài)歷經(jīng)理論技巧所獲得的結(jié)果中的許多， 人們至今也不知道是否存在 “初等” 證明， 這證實(shí)了這種方法的力量。 不僅如此， 作為這些努力的一個(gè)有價(jià)值的副產(chǎn)品， 人們還獲得了對(duì)保測(cè)體系結(jié)構(gòu)分類的深刻得多的理解。 特別是， 人們意識(shí)到對(duì)于許多類型的回歸問題， 一個(gè)任意體系的漸進(jìn)回歸性質(zhì)幾乎完全由該體系的一個(gè)特殊因子所控制， 這個(gè)因子被稱為該體系的 (最小) 特征因子[注十二]。 確定各類回歸中這一特征因子的精確性質(zhì)于是便成為了研究的焦點(diǎn)， 因?yàn)檫@將導(dǎo)致有關(guān)極限行為的更精確的信息 (特別是， 它將顯示與多重回歸有關(guān)的某些漸進(jìn)表達(dá)式實(shí)際上收斂于一個(gè)極限， 這在 Furstenberg 的原始論證中是懸而未決的)。 Furstenberg 和 Weiss 的反例， 及 Conze 和 Lesigne 的結(jié)果， 逐漸導(dǎo)致一個(gè)結(jié)論， 即這些特征因子應(yīng)該由一個(gè)非常特殊的 (代數(shù)型的) 保測(cè)體系， 即與冪零群 (nilpotent group) 相聯(lián)系的零系統(tǒng) (nilsystem)， 來描述。 這些結(jié)論的集大成者是對(duì)這些因子給予精確及嚴(yán)格描述的技術(shù)上引人注目的 Host 和 Kra 的論文 (及隨后的 Ziegler 的論文)， 它在得到其它一些結(jié)果的同時(shí)解決了剛才提到的漸進(jìn)多重回歸平均的收斂性問題。 這些特征因子所扮演的核心角色相當(dāng)充分地表明了存在于 (由零系統(tǒng)所表示的) 結(jié)構(gòu)與 (由某些技術(shù)型的 “混合” 性質(zhì)所刻劃的) 隨機(jī)性之間的二向性 (dichotomy)， 以及一種深刻的見解， 即 Szemerédi 定理的力量實(shí)際上是源于這一二向性。 Host-Kra 分析的另一個(gè)值得一提的特點(diǎn)是平均概念在 “立方體” 或 “超平行體” 中令人矚目的出現(xiàn)， 出于一些原因， 它比與算術(shù)序列有關(guān)的多重回歸平均更易于分析。 [譯者注： 1. Hales-Jewett 定理的大致內(nèi)容是： 如果用 m 種顏色來給一個(gè)邊長為 n 的多維點(diǎn)陣著色， 那么只要點(diǎn)陣的維數(shù)足夠高， 就必定存在同色的長度為 n 的行、 列、 對(duì)角線等。 2. “dichotomy” 在數(shù)學(xué)與邏輯中通常譯為二分法， 不過在本文中似以譯成 “二向性” 或 “二重性” 為佳， 因?yàn)?“二分法” 這一譯名過于強(qiáng)調(diào)兩種性質(zhì)之間的區(qū)分而非聯(lián)系。] 與這些各態(tài)歷經(jīng)理論的進(jìn)展相平行， 其他數(shù)學(xué)家則在尋找用別的方式來理解、 重新證明及改進(jìn) Szemerédi 定理。 Ruzsa 和 Szemerédi 取得了一個(gè)重要的概念突破， 他們用上面提到的 Szemerédi 正規(guī)性引理確立了一些圖論中的結(jié)果， 包括現(xiàn)在被稱為三角消除引理 (triangle removal lemma) 的引理， 其大致內(nèi)容是說一個(gè)包含少數(shù)三角形的圖中的三角形可以通過刪除數(shù)目少得令人驚訝的邊而消除。 他們隨后發(fā)現(xiàn)前面提到的 Behrend 例子對(duì)這一引理的定量下界給出了某種極限， 特別是它排除了許多類型的初等方法 (因?yàn)槟切┓椒ㄍǔ＝o出多項(xiàng)式型的下界)， 事實(shí)上迄今所知消除引理的所有證明都是通過正規(guī)性引理的某些變種。 將這一聯(lián)系反過來應(yīng)用， 人們發(fā)現(xiàn)其實(shí)三角消除引理蘊(yùn)含了 Roth 關(guān)于長度 3 序列的定理。 這一發(fā)現(xiàn)首次開啟了通過純圖論技巧證明 Szemerédi 型定理的可能性， 從而拋棄了問題中幾乎所有的加性結(jié)構(gòu) (注意各態(tài)歷經(jīng)方法仍然保留了這一結(jié)構(gòu)， 以作用在系統(tǒng)上的移位算符的面目而出現(xiàn)； Szemerédi 的原始證明也只是部分是圖論的， 因?yàn)樗谠S多不同環(huán)節(jié)用到了序列的加性結(jié)構(gòu))。 不過， 一段時(shí)間之后人們才意識(shí)到圖論方法與先于它出現(xiàn)的 Fourier 分析方法在很大程度上局限于檢測(cè)象三角形或長度 3 序列那樣的 “低復(fù)雜度” 結(jié)構(gòu)， 檢測(cè)更長的序列將需要復(fù)雜得多的超圖理論。 特別是， 這啟示了 (由 Frankl 和 Rödl 率先提出的) 一個(gè)計(jì)劃， 意在尋找超圖理論中正規(guī)性引理的類比， 這將足以產(chǎn)生象 Szemerédi 定理 (及其變種和推廣) 那樣的推論。 這被證明是一項(xiàng)復(fù)雜得令人吃驚的工作， 尤其是要仔細(xì)安排這種正規(guī)化中參數(shù)的等級(jí)[注十三]， 使之以正確的順序相互主導(dǎo)。 事實(shí)上， 能夠從中推出 Szemerédi 定理的正規(guī)性引理及與之相伴的記數(shù)引理 (counting lemma) 的最終證明直到最近才出現(xiàn)。 Gowers 的很有教益的反例也是值得一提的， 它表明原始的正規(guī)性引理中的定量下界必須至少是塔狀指數(shù)形式 (tower-exponential)， 從而再次顯示這一引理非同尋常的性質(zhì) (和力量)。 [譯者注： 1. 三角形消除引理中的 “少得令人驚訝” 是相對(duì)于三角形的數(shù)目而言的， 它指的是用刪除 O(n2) 條邊來消除 O(n3) 個(gè)三角形。 2. 超圖 (hypergraph) 是普通圖的推廣， 在其中邊可以連接兩個(gè)以上的頂點(diǎn) (類似于多元關(guān)系)。] 自 Roth 之后未曾有實(shí)質(zhì)進(jìn)展的 Fourier 分析方法最終由 Gowers 做了重新考察。 和其它方法一樣， Fourier 分析方法首先確立了整數(shù)集中的二向性， 即他們?cè)谀撤N意義上要么是有結(jié)構(gòu)的， 要么是偽隨機(jī)的。 這里的結(jié)構(gòu)這一概念是由 Roth 提出的： 有結(jié)構(gòu)的集合在中等長度算術(shù)序列上有一個(gè)密度增量， 但有關(guān)偽隨機(jī)或 “均勻性” 的正確概念卻沒那么清楚。 Gowers 提出了一個(gè)反例 (事實(shí)上這一反例與前面提到的 Host 與 Kra 的例子有著密切的關(guān)系)， 表明以 Fourier 分析為基礎(chǔ)的偽隨機(jī)概念對(duì)于控制長度 4 或更長的序列是不夠的， 他隨后引進(jìn)了一個(gè)滿足需要的不同的均勻性概念 (與 Host 和 Kra 的立方體平均有很密切的關(guān)系， 與某些超圖正規(guī)性的概念也有關(guān)系)。 剩下的工作就是為二向性確立一個(gè)定量且嚴(yán)格的形式。 這卻是一項(xiàng)困難得出人意料的工作 (主要是由于這一方法中 Fourier 變換的效用有限)， 并且在許多方面與 Host-Kra 及 Ziegler 試圖將特征因子賦予零系統(tǒng)代數(shù)結(jié)構(gòu)的努力相類似。 但是， 通過將 Fourier 分析工具與諸如 Freiman 定理和 Balog-Szemerédi 定理等加性組合學(xué)的主要結(jié)果， 及一些新的組合與概率方法結(jié)合在一起， Gowers 用令人矚目的高超技巧成功地完成了這一工作， 他并且得到了有關(guān) Szemerédi 定理和 van der Waerden 定理的非常強(qiáng)的定量下界[注十四]。[譯者注： Freiman 定理是一個(gè)有關(guān)具有小和集的整數(shù)集中算術(shù)序列性質(zhì)的定理 (一個(gè)整數(shù)集 A 的和集 A+A 是由該整數(shù)集本身及其中任意兩個(gè)數(shù)的和組成的集合， 小和集則是指 |A+A| 總結(jié)起來， 人們給出了 Szemerédi 定理的四種平行的證明； 一種是通過直接的組合方法， 一種是通過各態(tài)歷經(jīng)理論， 一種是通過超圖理論， 還有一種是通過 Fourier 分析及加性組合學(xué)。 即便有了這么多的證明， 我們依然覺得有關(guān)自己對(duì)這一結(jié)果的理解還不完全。 比方說， 這些方法中沒有一種強(qiáng)到能夠檢測(cè)素?cái)?shù)中的序列， 這主要是由于素?cái)?shù)序列的稀疏性 (不過， Fourier 方法， 或更確切地說 Hardy-Littlewood-Vinogradov 圓法， 可以用來證明素?cái)?shù)中存在無窮多長度 3 序列， 并且在付出很大努力后可以部分地描述長度 4 序列)。 但是通過調(diào)和分析中的限制理論 (這是另一個(gè)我們將不在這里討論的引人入勝的故事)， Green 能夠?qū)⑺財(cái)?shù) “當(dāng)成” 稠密來處理， 由此得到了一個(gè)有關(guān)素?cái)?shù)稠密子集的類似于 Roth 定理的結(jié)果。 這為相對(duì) Szemerédi 定理 (relative Szemerédi theorem) 開啟了可能性， 使人們能檢測(cè)整數(shù)集以外的其它集合， 比如素?cái)?shù)， 的稠密子集中的算術(shù)序列。 事實(shí)上， 一個(gè)與相當(dāng)稀疏的隨機(jī)集合的稠密子集有關(guān)的相對(duì) Roth 定理 (relative Roth theorem) 的原型已經(jīng)出現(xiàn)在了圖論文獻(xiàn)中。 在與 Ben Green 的合作[注十五]中， 我們開始試圖將 Gowers 的 Fourier 分析及組合論證方法相對(duì)化到諸如稀疏隨機(jī)集合或偽隨機(jī)集合的稠密子集這樣的情形中。 經(jīng)過許多努力 (部分地受到超圖理論的啟示， 它已被很好地用來計(jì)算稀疏集合中的結(jié)構(gòu)； 也部分地受到 Green 正規(guī)性引理的啟示， 它將圖論中的 “算術(shù)正規(guī)性引理” 轉(zhuǎn)用到了加性理論中)， 我們逐漸能夠 (在一項(xiàng)尚未發(fā)表的工作中) 檢測(cè)這類集合中的長度 4 序列。 這時(shí)候， 我們意識(shí)到了我們所用的正規(guī)性引理與 Host-kra 有關(guān)特征因子的構(gòu)造之間的相似性。 通過對(duì)這些構(gòu)造的置換[注十六] (特別依賴于立方體平均)， 我們可以確立一個(gè)令人滿意的相對(duì) Szemerédi 定理， 它依賴于一個(gè)特定的轉(zhuǎn)化原理 (transference principle)， 粗略地說， 該原理斷言稀疏偽隨機(jī)集合的稠密子集的行為 “就好比” 它們?cè)诔跏技现芯褪浅砻艿摹?為了將這一定理應(yīng)用于素?cái)?shù)， 我們需要將素?cái)?shù)包裹在一個(gè)適當(dāng)?shù)膫坞S機(jī)集合 (或者更確切地說， 偽隨機(jī)測(cè)度) 中。 對(duì)我們來說很偶然的是， Goldston 和 Yildirim 最近有關(guān)素?cái)?shù)隙的突破[注十七][注十八]幾乎恰好構(gòu)造了我們所需要的東西， 使我們最終確立了早年的猜想， 即素?cái)?shù)集包含任意長度的算術(shù)序列。 [譯者注： 1. 這里提到的 Tao 與 Green 合作所得的結(jié)果 “素?cái)?shù)集包含任意長度的算術(shù)序列” 被稱為 Green-Tao 定理。 2. 這里提到的 Goldston 和 Yildirim 的工作， 及原文 [注十七] 提到的故事可參閱拙作 孿生素?cái)?shù)猜想 及該文末尾的補(bǔ)注。] 故事到這里仍未結(jié)束， 而是繼續(xù)沿幾個(gè)方向發(fā)展著。 一方面轉(zhuǎn)化原理現(xiàn)在已經(jīng)有了一些進(jìn)一步的應(yīng)用， 比如獲得高斯素?cái)?shù)中的組團(tuán) (constellation) 或有理素?cái)?shù)中的多項(xiàng)序列。 另一個(gè)很有前途的研究方向是 Fourier 分析、 超圖理論及各態(tài)歷經(jīng)方法的彼此匯聚， 比如發(fā)展圖論與超圖理論的無窮版本 (它在其它數(shù)學(xué)領(lǐng)域， 如性質(zhì)檢驗(yàn)， 中也有應(yīng)用)， 或各態(tài)歷經(jīng)理論的有限版本。 第三個(gè)方向是使控制各態(tài)歷經(jīng)情形下的回歸的零系統(tǒng)也能控制算術(shù)序列的各種有限平均。 特別是， Green 和我正在積極地計(jì)算素?cái)?shù)及由零系統(tǒng) (通過 Vinogradov 方法) 產(chǎn)生的序列之間的關(guān)聯(lián)， 以便確立能夠在素?cái)?shù)中找到的各種結(jié)構(gòu)的精確漸進(jìn)形式。 最后， 但并非最不重要的是最初的 Erdös-Turán 猜想， 它在所有這些進(jìn)展之后仍未得到解決， 不過現(xiàn)在 Bourgain 已經(jīng)取得了一些非常有希望的進(jìn)展， 這應(yīng)該能引導(dǎo)出進(jìn)一步的發(fā)展。 [譯者注： 1. 高斯素?cái)?shù) (Gaussian prime) 是素?cái)?shù)概念在高斯整數(shù)集 (即形如 m+ni 的復(fù)數(shù)組成的集合， 其中 m、 n 均為整數(shù)) 中的推廣。 2. 有理素?cái)?shù) (rational prime) 是普通素?cái)?shù)在高斯整數(shù)集中的稱謂。] 3. 結(jié)論 如我們?cè)谏鲜鰝�(gè)例研究中可以看到的， 好數(shù)學(xué)的最佳例子不僅滿足本文開頭所列舉的數(shù)學(xué)品質(zhì)判據(jù)中的一項(xiàng)或多項(xiàng)， 更重要的， 它是一個(gè)更宏大的數(shù)學(xué)故事的一部分， 那個(gè)故事的展開將產(chǎn)生許多不同類型的進(jìn)一步的好數(shù)學(xué)。 實(shí)際上， 人們可以將整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的歷史看成是主要由少數(shù)幾個(gè)這類好故事隨時(shí)間的演化及相互影響所產(chǎn)生的。 因此我的結(jié)論是， 好數(shù)學(xué)不僅僅是用前面列舉的一個(gè)或幾個(gè) “局部” 品質(zhì)來衡量的 (盡管那些品質(zhì)無疑是重要且值得追求與爭(zhēng)論的)， 還要依賴于它如何通過繼承以前的成果或鼓勵(lì)后續(xù)發(fā)展來與其它好數(shù)學(xué)相匹配這樣更 “全局” 的問題。 當(dāng)然， 如果不憑借后見之利， 要確切地預(yù)言什么樣的數(shù)學(xué)會(huì)具有這種品質(zhì)是困難的。 不過實(shí)際上似乎存在某種無法定義的感覺， 使我們能感覺到某項(xiàng)數(shù)學(xué)成果 “觸及了什么東西”， 是一個(gè)有待進(jìn)一步探索的更大謎團(tuán)的一部分。 在我看來， 追求這種對(duì)發(fā)展?jié)摿Φ碾y以言狀的保障， 對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)展來說起碼是與前面列舉的更具體更顯然的數(shù)學(xué)品質(zhì)同等重要的。 因此我相信， 好數(shù)學(xué)并不是單純的解題、 構(gòu)筑理論、 對(duì)論證進(jìn)行簡(jiǎn)化、 強(qiáng)化、 明晰化、 使論證更優(yōu)美、 更嚴(yán)格， 盡管這些無疑都是很好的目標(biāo)。 在完成所有這些任務(wù) (及爭(zhēng)論一個(gè)給定領(lǐng)域中哪一個(gè)應(yīng)該有較高的優(yōu)先權(quán)) 的同時(shí)， 我們應(yīng)該關(guān)注我們的結(jié)果所可能從屬的任何更大的范圍， 因?yàn)槟呛芸赡軙?huì)對(duì)我們的結(jié)果、 相應(yīng)的領(lǐng)域， 乃至整個(gè)數(shù)學(xué)產(chǎn)生最大的長期利益。 4. 鳴謝 感謝 Laura Kim 閱讀并評(píng)論本文的早期文稿， 以及 Gil Kalai 的許多深思熟慮的評(píng)論與建議。 原文注釋 [注一] 上述列舉無意以完備自居。 尤其是， 它主要著眼于研究性數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中的數(shù)學(xué)， 而非課堂、 教材或自然科學(xué)等接近數(shù)學(xué)的學(xué)科中的數(shù)學(xué)。 [注二] 特別值得指出的是數(shù)學(xué)嚴(yán)格性雖然非常重要， 卻只是界定高品質(zhì)數(shù)學(xué)的因素之一。 [注三] 一個(gè)相關(guān)的困難是， 除了數(shù)學(xué)嚴(yán)格性這一引人注目的例外， 上述品質(zhì)大都有點(diǎn)主觀， 因而含有某種不精確性與不確定性。 我們感謝 Gil Kalai 強(qiáng)調(diào)了這一點(diǎn)。 [注四] 稀缺資源的例子包括錢、 時(shí)間、 注意力、 才能及頂尖刊物的版面。 [注五] 這一問題的另一個(gè)解決方法是利用數(shù)學(xué)資源也是多維這一事實(shí)。 比如人們可以為展示、 創(chuàng)造性等等設(shè)立獎(jiǎng)項(xiàng)， 或?yàn)椴煌愋偷某晒O(shè)立不同的雜志。 我感謝 Gil Kalai 對(duì)這一點(diǎn)的洞察。 [注六] 這一現(xiàn)象與 Wigner 所發(fā)現(xiàn)的 “數(shù)學(xué)的不合理有效性” (unreasonable effectiveness of mathematics) 有一定的關(guān)聯(lián)。 [譯者注： Wigner 的這一說法見于他 1960 年發(fā)表的文章 "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences"。] [注七] Erdös 也研究了 Ramsey 原始定理中的定量下界， 由此導(dǎo)致的結(jié)果中包括了對(duì)在組合學(xué)中極其重要的概率方法的確立， 不過這本身就是一個(gè)很長的故事， 我們沒有足夠的篇幅在這里討論。 [注八] 同樣， 圓法的歷史也是一段我們無法細(xì)述的精彩故事。 不過只要提這樣一點(diǎn)就足夠了， 那便是用現(xiàn)代語言來說， 這一方法是 “Fourier 分析是解決加性組合學(xué)問題的重要工具” 這一現(xiàn)代標(biāo)準(zhǔn)見解的一部分。 [注九] 在這之后， Roth 很快就將 Szemerédi 的想法與他自己的 Fourier 分析方法組合在一起， 給出了針對(duì)長度 4 序列的 Szemerédi 定理的混合證明。 [注十] 比方說， 某些版本的 Furstenberg 論證嚴(yán)重依賴于選擇公理， 盡管將之修改為不依賴選擇公理也是可能的。 [注十一] 對(duì)拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)也存在類似的對(duì)應(yīng)原理將 van der Waerden 定理與多重回歸定理等價(jià)起來。 這引出了有關(guān)拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)的迷人故事。 [注十二] 這方面的早期例子是 von Neumann 的平均各態(tài)歷經(jīng)定理， 在其中移位不變函數(shù) (shift-invariant function) 的因子控制了移位簡(jiǎn)單平均的極限行為。 [注十三] 這一等級(jí)看來與 Furstenberg 在其使保測(cè)體系 “正規(guī)化” 的類似探索中所遇到的一系列拓展有關(guān)， 盡管我們現(xiàn)在對(duì)其確切關(guān)聯(lián)還了解得很少。 [注十四] 同樣值得一提的是 Shelah 有關(guān) van der Waerden 定理的杰出的創(chuàng)造性證明， 它曾經(jīng)保持著有關(guān)這一定理的最佳常數(shù)的紀(jì)錄。 [注十五] 順便說一下， 我最初被這些問題所吸引是因?yàn)樗鼈兣c另一個(gè)重大的數(shù)學(xué)故事， 我們?cè)诖颂帥]有篇幅討論的 Kakeya 猜想， 之間的聯(lián)系。 它們與前面提到的有關(guān)限制理論的故事之間的關(guān)系則是多少有點(diǎn)出人意料的。 [注十六] 出于幾個(gè)原因， 這里有一點(diǎn)技巧性。 最明顯的是各態(tài)歷經(jīng)構(gòu)造本質(zhì)上是無窮的， 但為了處理素?cái)?shù)卻必須在有限的情況下使用。 幸運(yùn)的是， 我曾經(jīng)嘗試過將各態(tài)歷經(jīng)方法有限化以便應(yīng)用于 Szemerédi 定理。 雖然那一嘗試在當(dāng)時(shí)并不完全， 但后來發(fā)現(xiàn)它足以對(duì)我們研究素?cái)?shù)提供幫助。 [注十七] 在我們寫論文的時(shí)候， 我們所采用的構(gòu)造來自于 Goldston 和 Yıldırım 的一篇文章， 那篇文章曾因?yàn)橐粋�(gè)與我們工作無關(guān)的缺陷而被他們收回， 后來他們通過一些聰明的新想法彌補(bǔ)了缺陷。 這對(duì)我們前面提到的一個(gè)觀點(diǎn)， 即一項(xiàng)數(shù)學(xué)工作不一定要在所有細(xì)節(jié)上都絕對(duì)正確才能對(duì)未來的 (嚴(yán)密) 工作有所助益， 是一種支持。 [注十八] 有關(guān)素?cái)?shù)隙的故事也是一個(gè)我們無法在這里講述的有趣的故事。 附錄： Alain Connes 的評(píng)論 (2007-02-19) (發(fā)表于 group blog "Noncommutative Geometry" ， 標(biāo)題為 “Good Mathematics?”) ... ... 很難評(píng)論 Tao 的這篇文章， 第二部分有關(guān) Szemeredi 定理的個(gè)例不錯(cuò)且很有趣， 但第一部分有那種藝術(shù)家試圖通過一系列標(biāo)準(zhǔn)來定義美的痛苦意味。 這種類型的判斷是如此主觀， 我很真切地感到除了顯而易見的傲慢自大外沒學(xué)到任何東西 ... ... [譯者注： Connes 提到的這種 “傲慢自大” Tao 自己也提到了， 并試圖予以說明 (本譯文第一節(jié)最后兩段)， 但看來說明是徒勞的。 還是 Hardy 看得比較透徹， 他說： “對(duì)一位職業(yè)數(shù)學(xué)家來說， 發(fā)覺自己在 writing about mathematics 是一種郁悶的感覺”， Hardy 自己雖然也做了這件 “郁悶” 的事， 但那時(shí)他已經(jīng) 63 歲， 比 Tao 大了一倍。] 二零零七年三月十一日譯于紐約 http://www.changhai.org |
2樓2011-08-25 10:32:15
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