 |
 |
 |
 |
 |
 |
||
 |
 |
 |
 |
 |
| 7 | 1/1 | 返回列表 |
| 查看: 2620 | 回復(fù): 6 | ||
rainbowguy銀蟲 (正式寫手)
|
[求助]
是不是所有的可分度量空間的子空間都是可分的？
|
|
如題，是不是所有的可分度量空間X的子空間Y都是可分的？我的理解是可分的。原因如下：對(duì)于可分的度量空間X，必有一個(gè)可數(shù)的稠密子集M。對(duì)于X的子空間Y，也必有M的子集M1在Ｙ中也是稠密的，所以Ｙ也可分。 請(qǐng)教大蝦上述理解是否正確？ |
回復(fù)此樓» 猜你喜歡
本人考085602 化學(xué)工程 專碩
已經(jīng)有23人回復(fù)
-
求調(diào)劑院校信息
已經(jīng)有4人回復(fù)
-
085600材料與化工306
已經(jīng)有4人回復(fù)
-
286求調(diào)劑
已經(jīng)有10人回復(fù)
-
328求調(diào)劑，英語六級(jí)551，有科研經(jīng)歷
已經(jīng)有9人回復(fù)
-
一志愿北京化工大學(xué)070300 學(xué)碩336求調(diào)劑
已經(jīng)有4人回復(fù)
-
286分人工智能專業(yè)請(qǐng)求調(diào)劑愿意跨考！
已經(jīng)有8人回復(fù)
-
資源與環(huán)境 調(diào)劑申請(qǐng)(333分)
已經(jīng)有5人回復(fù)
-
280求調(diào)劑
已經(jīng)有12人回復(fù)
-
269專碩求調(diào)劑
已經(jīng)有5人回復(fù)
» 本主題相關(guān)價(jià)值貼推薦，對(duì)您同樣有幫助:
- 【新蟲求助】，journal of computer國外審稿人--都是找什么級(jí)別的人啊
已經(jīng)有5人回復(fù)
- 謝謝3
已經(jīng)有28人回復(fù)
- 學(xué)校對(duì)小論文要求不高（非英文，非核心）的 可以看看
已經(jīng)有5人回復(fù)
- 基于子空間的人臉識(shí)別【無重復(fù)】
已經(jīng)有104人回復(fù)
- 為什么感覺自己做的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)都是垃圾？
已經(jīng)有18人回復(fù)
- 所有的指示劑變色范圍（包括酸堿指示劑，氧化指示劑，金屬指示劑）
已經(jīng)有158人回復(fù)
- 大家找工作都是去哪里找的呀？
已經(jīng)有12人回復(fù)
- 悲劇呀�。�！我以后的就業(yè)前景，，，這萬惡的專業(yè)，，，可恨又可悲的自己。。。
已經(jīng)有42人回復(fù)
- 【求助】如何求解線性子空間交的一組基【已結(jié)】
已經(jīng)有4人回復(fù)
- 沒有博士學(xué)位的講師可以申請(qǐng)國家基金面上項(xiàng)目嗎？
已經(jīng)有26人回復(fù)
sukiyq
木蟲 (小有名氣)
- 應(yīng)助: 25 (小學(xué)生)
- 金幣: 2808.9
- 散金: 10
- 紅花: 3
- 帖子: 211
- 在線: 68.5小時(shí)
- 蟲號(hào): 1397425
- 注冊(cè): 2011-09-10
- 專業(yè): 模式識(shí)別
【答案】應(yīng)助回帖
★ ★ ★
小雨萌萌(金幣+3): 3Q~ 2011-09-17 17:57:48
小雨萌萌(金幣+3): 3Q~ 2011-09-17 17:57:48
|
對(duì)于可分的度量空間X，必有一個(gè)可數(shù)的稠密子集M，計(jì)M={a(i)}，a(i)的個(gè)數(shù)是可數(shù)個(gè)。對(duì)每一個(gè)正整數(shù)k，記以點(diǎn)a為圓心，1/k為半徑的開球是B(a,1/k)。y由于M在X中稠密，對(duì)任意X中的元素x，以及任意正整數(shù)k，都存在M中某一個(gè)元素a使|x-a|<1/k。所以以每一個(gè)a(i)為圓心1/k為半徑的圓的并，記為UB(a(i),1/k)就是M的一個(gè)覆蓋，這樣的覆蓋對(duì)任意k都成立。 對(duì)于子空間Y中的任意點(diǎn)y，顯然y也屬于X，所以必有某一個(gè)a(i)使得|y-a(i)|<1/k，即y在開球B(a(i),1/k)中，由于Y是子空間，Y和此開球的交還有其他點(diǎn)(如不然，y就成了子空間Y的一個(gè)孤立點(diǎn)，子空間能有孤立點(diǎn)嗎?),記為z(a(i),k)。把所有的z(a(i),k)收集起來，這些點(diǎn)至多有可數(shù)個(gè)，對(duì)任意y屬于Y，都存在某一個(gè)z(a(i),k)，使得y和z(a(i),k)在同一個(gè)開球B(a(i),k)中,也就是說|y-z(a(i),k)|<2/k，且他們都是子空間Y的元素，所以{z(a(i),k)}是Y的稠密子集。 |
2樓2011-09-14 00:25:50
sukiyq
木蟲 (小有名氣)
- 應(yīng)助: 25 (小學(xué)生)
- 金幣: 2808.9
- 散金: 10
- 紅花: 3
- 帖子: 211
- 在線: 68.5小時(shí)
- 蟲號(hào): 1397425
- 注冊(cè): 2011-09-10
- 專業(yè): 模式識(shí)別
【答案】應(yīng)助回帖
rainbowguy(金幣+10): 2011-09-16 11:13:04
|
對(duì)于可分的度量空間X，必有一個(gè)可數(shù)的稠密子集M，計(jì)M={a(i)}，a(i)的個(gè)數(shù)是可數(shù)個(gè)。對(duì)每一個(gè)正整數(shù)k，記以點(diǎn)a為圓心，1/k為半徑的開球是B(a,1/k)。由于M在X中稠密，對(duì)任意X中的元素x，以及任意正整數(shù)k，都存在M中某一個(gè)元素a使|x-a|<1/k。所以以每一個(gè)a(i)為圓心1/k為半徑的圓的并，記為UB(a(i),1/k)就是M的一個(gè)覆蓋，這樣的覆蓋對(duì)任意k都成立。 對(duì)于子空間Y中的任意點(diǎn)y，顯然y也屬于X，所以必有某一個(gè)a(i)使得|y-a(i)|<1/k，即y在開球B(a(i),1/k)中，由于Y是子空間，Y和此開球的交還有其他點(diǎn)(如不然，y就成了子空間Y的一個(gè)孤立點(diǎn)，子空間能有孤立點(diǎn)嗎?),記為z(a(i),k)。把所有的z(a(i),k)收集起來，這些點(diǎn)至多有可數(shù)個(gè)，對(duì)任意y屬于Y，都存在某一個(gè)z(a(i),k)，使得y和z(a(i),k)在同一個(gè)開球B(a(i),k)中,也就是說|y-z(a(i),k)|<2/k，且他們都是子空間Y的元素，所以{z(a(i),k)}是Y的稠密子集。 |
3樓2011-09-14 00:26:02
Pchief
鐵桿木蟲 (正式寫手)
- 數(shù)學(xué)EPI: 26
- 應(yīng)助: 13 (小學(xué)生)
- 貴賓: 0.024
- 金幣: 10814.4
- 紅花: 36
- 帖子: 987
- 在線: 1992.8小時(shí)
- 蟲號(hào): 52235
- 注冊(cè): 2004-09-04
- 專業(yè): 泛函分析
★ ★ ★ ★ ★
小雨萌萌(金幣+5): 謝謝~ 2011-09-17 17:58:08
小雨萌萌(金幣+5): 謝謝~ 2011-09-17 17:58:08
|
一般而言，可分的拓?fù)淇臻g，其子空間不必可分。但可分的度量空間其子空間必定可分。 但這個(gè)命題的證明并不簡(jiǎn)單。應(yīng)當(dāng)注意：當(dāng) M 在 X 中稠密時(shí)， M ∩ Y 在 Y 中不必稠密。反例有如： X = R^2 為歐氏平面， M 為橫縱坐標(biāo)均為有理數(shù)的點(diǎn)全體，顯然 M 在 X 中稠。又 Y 為中心在原點(diǎn)，半徑為 π 的圓周，則 M ∩ Y 是空集，這是因?yàn)榧偃琰c(diǎn) P(x,y) 在 M∩ Y 中，則 根號(hào)(x^2+y^2) = π 但上式左邊是代數(shù)數(shù)，右邊是超越數(shù)，矛盾。因此，M ∩ Y 在 Y 中不稠。 建議由以下步驟來證明這一命題： (1) 對(duì)于 X 的可數(shù)稠密子集 M，設(shè) D 為中心在 M 中，半徑為有理數(shù)的開球全體，則 D 中開球的個(gè)數(shù)可數(shù)，并且 X 中每個(gè)開集都是 D 中若干開球的并。 (2) 對(duì)于 X 的子空間 Y，令 D' 為形如 B ∩ Y 的集合全體，其中 B ∈ D 。并且，不失一般性可假設(shè) D' 中不含空集。則 D' 也是可數(shù)的，且 Y 中每一個(gè)開集也能表示為 D' 中若干元素的并集。 (3) 在 D' 的每個(gè)元素中取一個(gè)點(diǎn) x ，這種 x 的全體記作 M' 。 則 Y 中每個(gè)非空開集必與 M' 有非空的交，于是 M' 在 Y 中稠密。又由于 D' 可數(shù)， M' 也是可數(shù)的。 |
4樓2011-09-14 08:54:53
rainbowguy
銀蟲 (正式寫手)
- 應(yīng)助: 4 (幼兒園)
- 金幣: 162.7
- 散金: 327
- 紅花: 7
- 帖子: 312
- 在線: 219.2小時(shí)
- 蟲號(hào): 1107527
- 注冊(cè): 2010-09-25
- 性別: GG
- 專業(yè): 污染物行為過程及其環(huán)境效
5樓2011-09-14 08:55:31
rainbowguy
銀蟲 (正式寫手)
- 應(yīng)助: 4 (幼兒園)
- 金幣: 162.7
- 散金: 327
- 紅花: 7
- 帖子: 312
- 在線: 219.2小時(shí)
- 蟲號(hào): 1107527
- 注冊(cè): 2010-09-25
- 性別: GG
- 專業(yè): 污染物行為過程及其環(huán)境效
6樓2011-09-14 09:16:14
sukiyq
木蟲 (小有名氣)
- 應(yīng)助: 25 (小學(xué)生)
- 金幣: 2808.9
- 散金: 10
- 紅花: 3
- 帖子: 211
- 在線: 68.5小時(shí)
- 蟲號(hào): 1397425
- 注冊(cè): 2011-09-10
- 專業(yè): 模式識(shí)別
★
小雨萌萌(金幣+1): 謝謝~ 2011-09-17 17:58:32
小雨萌萌(金幣+1): 謝謝~ 2011-09-17 17:58:32
|
(1)子空間能不能有孤立點(diǎn)？為什么？同問？只知道假如對(duì)象是拓?fù)湎蛄靠臻g那肯定不能有孤立點(diǎn)，因?yàn)榭臻g需要對(duì)線性運(yùn)算封閉。 (2)z(a(i),1/k)是從以a(i)為中心，1/k為半徑的球內(nèi)選出的一個(gè)點(diǎn)，因?yàn)閍(i)有可數(shù)個(gè)，1/k有可數(shù)個(gè)，所以球B(a(i),1/k)也有可數(shù)個(gè),所以選出的z也有可數(shù)個(gè)。不是說子空間Y與某一個(gè)開球的交點(diǎn)有可數(shù)個(gè)，而是z有可數(shù)個(gè)，這些z存在于以X的稠密子集中某元素為圓心，1/k為半徑的球中，因而也是Y的稠密集。 |
7樓2011-09-14 20:30:41
相關(guān)版塊跳轉(zhuǎn)
我要訂閱樓主 rainbowguy 的主題更新
| 7 | 1/1 | 返回列表 |
| 最具人氣熱帖推薦 [查看全部] | 作者 | 回/看 | 最后發(fā)表 | |
|---|---|---|---|---|
|
[考研] 求調(diào)劑院校信息 +4 | CX 330 2026-03-21 | 4/200 |
|
|---|---|---|---|---|
|
[考研] 一志愿北京化工大學(xué)070300 學(xué)碩336求調(diào)劑 +3 | vv迷 2026-03-21 | 4/200 |
|
|
|
[考研] 初試 317 +7 | 半拉月丙 2026-03-20 | 7/350 |
|
|
|
[考研] 化學(xué)調(diào)劑 +5 | yzysaa 2026-03-21 | 5/250 |
|
|
|
[考研] 310求調(diào)劑 +3 | baibai1314 2026-03-16 | 3/150 |
|
|
|
[考研] 一志愿天津大學(xué)化學(xué)工藝專業(yè)（081702）315分求調(diào)劑 +12 | yangfz 2026-03-17 | 12/600 |
|
|
|
[考研] 化學(xué)求調(diào)劑 +4 | 臨澤境llllll 2026-03-17 | 5/250 |
|
|
|
[考研] 一志愿西南交大，求調(diào)劑 +5 | 材化逐夢(mèng)人 2026-03-18 | 5/250 |
|
|
|
[考研] 材料專碩英一數(shù)二306 +7 | z1z2z3879 2026-03-18 | 7/350 |
|
|
|
[考研] 295材料求調(diào)劑，一志愿武漢理工085601專碩 +5 | Charlieyq 2026-03-19 | 5/250 |
|
|
|
[考研] 289求調(diào)劑 +6 | 懷瑾握瑜l 2026-03-20 | 6/300 |
|
|
|
[考研] 319求調(diào)劑 +3 | 小力氣珂珂 2026-03-20 | 3/150 |
|
|
|
[考研] 一志愿吉林大學(xué)材料學(xué)碩321求調(diào)劑 +11 | Ymlll 2026-03-18 | 15/750 |
|
|
|
[考研] 261求B區(qū)調(diào)劑，科研經(jīng)歷豐富 +3 | 牛奶很忙 2026-03-20 | 4/200 |
|
|
|
[考研] 085410人工智能專碩317求調(diào)劑（0854都可以） +4 | xbxudjdn 2026-03-18 | 4/200 |
|
|
|
[考研] 材料學(xué)碩318求調(diào)劑 +5 | February_Feb 2026-03-19 | 5/250 |
|
|
|
[考研] 288求調(diào)劑，一志愿華南理工大學(xué)071005 +5 | ioodiiij 2026-03-17 | 5/250 |
|
|
|
[考研] 一志愿985，本科211，0817化學(xué)工程與技術(shù)319求調(diào)劑 +10 | Liwangman 2026-03-15 | 10/500 |
|
|
|
[考研] 308求調(diào)劑 +4 | 是Lupa啊 2026-03-16 | 4/200 |
|
|
|
[考研] 0856專碩279求調(diào)劑 +5 | 加油加油！? 2026-03-15 | 5/250 |
|