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rainbowguy銀蟲 (正式寫手)
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[求助]
是不是所有的可分度量空間的子空間都是可分的？
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如題，是不是所有的可分度量空間X的子空間Y都是可分的？我的理解是可分的。原因如下：對于可分的度量空間X，必有一個可數(shù)的稠密子集M。對于X的子空間Y，也必有M的子集M1在Ｙ中也是稠密的，所以Ｙ也可分。 請教大蝦上述理解是否正確？ |
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sukiyq
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【答案】應(yīng)助回帖
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小雨萌萌(金幣+3): 3Q~ 2011-09-17 17:57:48
小雨萌萌(金幣+3): 3Q~ 2011-09-17 17:57:48
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對于可分的度量空間X，必有一個可數(shù)的稠密子集M，計M={a(i)}，a(i)的個數(shù)是可數(shù)個。對每一個正整數(shù)k，記以點(diǎn)a為圓心，1/k為半徑的開球是B(a,1/k)。y由于M在X中稠密，對任意X中的元素x，以及任意正整數(shù)k，都存在M中某一個元素a使|x-a|<1/k。所以以每一個a(i)為圓心1/k為半徑的圓的并，記為UB(a(i),1/k)就是M的一個覆蓋，這樣的覆蓋對任意k都成立。 對于子空間Y中的任意點(diǎn)y，顯然y也屬于X，所以必有某一個a(i)使得|y-a(i)|<1/k，即y在開球B(a(i),1/k)中，由于Y是子空間，Y和此開球的交還有其他點(diǎn)(如不然，y就成了子空間Y的一個孤立點(diǎn)，子空間能有孤立點(diǎn)嗎?),記為z(a(i),k)。把所有的z(a(i),k)收集起來，這些點(diǎn)至多有可數(shù)個，對任意y屬于Y，都存在某一個z(a(i),k)，使得y和z(a(i),k)在同一個開球B(a(i),k)中,也就是說|y-z(a(i),k)|<2/k，且他們都是子空間Y的元素，所以{z(a(i),k)}是Y的稠密子集。 |
2樓2011-09-14 00:25:50
sukiyq
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【答案】應(yīng)助回帖
rainbowguy(金幣+10): 2011-09-16 11:13:04
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對于可分的度量空間X，必有一個可數(shù)的稠密子集M，計M={a(i)}，a(i)的個數(shù)是可數(shù)個。對每一個正整數(shù)k，記以點(diǎn)a為圓心，1/k為半徑的開球是B(a,1/k)。由于M在X中稠密，對任意X中的元素x，以及任意正整數(shù)k，都存在M中某一個元素a使|x-a|<1/k。所以以每一個a(i)為圓心1/k為半徑的圓的并，記為UB(a(i),1/k)就是M的一個覆蓋，這樣的覆蓋對任意k都成立。 對于子空間Y中的任意點(diǎn)y，顯然y也屬于X，所以必有某一個a(i)使得|y-a(i)|<1/k，即y在開球B(a(i),1/k)中，由于Y是子空間，Y和此開球的交還有其他點(diǎn)(如不然，y就成了子空間Y的一個孤立點(diǎn)，子空間能有孤立點(diǎn)嗎?),記為z(a(i),k)。把所有的z(a(i),k)收集起來，這些點(diǎn)至多有可數(shù)個，對任意y屬于Y，都存在某一個z(a(i),k)，使得y和z(a(i),k)在同一個開球B(a(i),k)中,也就是說|y-z(a(i),k)|<2/k，且他們都是子空間Y的元素，所以{z(a(i),k)}是Y的稠密子集。 |
3樓2011-09-14 00:26:02
Pchief
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小雨萌萌(金幣+5): 謝謝~ 2011-09-17 17:58:08
小雨萌萌(金幣+5): 謝謝~ 2011-09-17 17:58:08
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一般而言，可分的拓?fù)淇臻g，其子空間不必可分。但可分的度量空間其子空間必定可分。 但這個命題的證明并不簡單。應(yīng)當(dāng)注意：當(dāng) M 在 X 中稠密時， M ∩ Y 在 Y 中不必稠密。反例有如： X = R^2 為歐氏平面， M 為橫縱坐標(biāo)均為有理數(shù)的點(diǎn)全體，顯然 M 在 X 中稠。又 Y 為中心在原點(diǎn)，半徑為 π 的圓周，則 M ∩ Y 是空集，這是因?yàn)榧偃琰c(diǎn) P(x,y) 在 M∩ Y 中，則 根號(x^2+y^2) = π 但上式左邊是代數(shù)數(shù)，右邊是超越數(shù)，矛盾。因此，M ∩ Y 在 Y 中不稠。 建議由以下步驟來證明這一命題： (1) 對于 X 的可數(shù)稠密子集 M，設(shè) D 為中心在 M 中，半徑為有理數(shù)的開球全體，則 D 中開球的個數(shù)可數(shù)，并且 X 中每個開集都是 D 中若干開球的并。 (2) 對于 X 的子空間 Y，令 D' 為形如 B ∩ Y 的集合全體，其中 B ∈ D 。并且，不失一般性可假設(shè) D' 中不含空集。則 D' 也是可數(shù)的，且 Y 中每一個開集也能表示為 D' 中若干元素的并集。 (3) 在 D' 的每個元素中取一個點(diǎn) x ，這種 x 的全體記作 M' 。 則 Y 中每個非空開集必與 M' 有非空的交，于是 M' 在 Y 中稠密。又由于 D' 可數(shù)， M' 也是可數(shù)的。 |
4樓2011-09-14 08:54:53
rainbowguy
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5樓2011-09-14 08:55:31
rainbowguy
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6樓2011-09-14 09:16:14
sukiyq
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小雨萌萌(金幣+1): 謝謝~ 2011-09-17 17:58:32
小雨萌萌(金幣+1): 謝謝~ 2011-09-17 17:58:32
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(1)子空間能不能有孤立點(diǎn)？為什么？同問？只知道假如對象是拓?fù)湎蛄靠臻g那肯定不能有孤立點(diǎn)，因?yàn)榭臻g需要對線性運(yùn)算封閉。 (2)z(a(i),1/k)是從以a(i)為中心，1/k為半徑的球內(nèi)選出的一個點(diǎn)，因?yàn)閍(i)有可數(shù)個，1/k有可數(shù)個，所以球B(a(i),1/k)也有可數(shù)個,所以選出的z也有可數(shù)個。不是說子空間Y與某一個開球的交點(diǎn)有可數(shù)個，而是z有可數(shù)個，這些z存在于以X的稠密子集中某元素為圓心，1/k為半徑的球中，因而也是Y的稠密集。 |
7樓2011-09-14 20:30:41
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