【答案】應(yīng)助回帖

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一志愿南航 335分 | 0856 | GPA 4.07 | 有科研經(jīng)歷已經(jīng)有6人回復(fù)

1樓 2011-10-13 19:08:32

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lizhmath

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★ ★
soliton923(金幣+3): 謝謝參與討論~~正解�。�！@_@ 2011-10-13 19:42:35

用二項(xiàng)展開公式得
$a_n=1+\sum\limits_{k=1}^n\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}\\ =1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n} \right )\left(1-\frac{2}{n} \right )\cdots\left(1-\frac{k-1}{n} \right ).$
于是
$a_{n+1}-a_n\\ =\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k!}\left\{\left(1-\frac{1}{n+1} \right )\cdots\left(1-\frac{k-1}{n+1} \right )-\left(1-\frac{1}{n} \right )\cdots\left(1-\frac{k-1}{n} \right )\right\}+\frac{1}{(n+1)^{n+1}}.$
求和的大括號中相減兩項(xiàng)都是k－1個(gè)相乘，顯然
$1-\frac{i}{n+1}>1-\frac{i}{n}>0,\;\;i=1,\cdots,n-1$
所以該數(shù)列嚴(yán)格遞增。事實(shí)上它的極限是e。

2樓2011-10-13 19:38:08

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xuyx_78

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【答案】應(yīng)助回帖

★
soliton923(金幣+1): 謝謝參與討論~~ 2011-10-13 20:33:34

將二者用二項(xiàng)式展開，逐項(xiàng)比較可知，a_(n+1)的各項(xiàng)不小于a_n的對應(yīng)項(xiàng)，而且多了一個(gè)正的項(xiàng)，所以a_(n+1)-a_n>0.

3樓2011-10-13 19:44:34

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yasima2

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引用回帖:

2樓: Originally posted by lizhmath at 2011-10-13 19:38:08:
用二項(xiàng)展開公式得
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?a_n%3D1+%5Csum%5Climits_%7Bk%3D1%7D%5En%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Ek%7D%5C%5C%20%3D1+%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5 ...

我知道那種方法.我課本上就是.我問還有別的方法嗎.就是直接減

4樓2011-10-13 20:27:10

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★
soliton923(金幣+1): 小孩一個(gè)，也敢在數(shù)學(xué)版自稱姐姐？？？ 2011-10-13 20:32:40

引用回帖:

且不用二項(xiàng)式展開.姐姐想了好久,一直覺得以前沒用二項(xiàng)式展開也能做出來

5樓2011-10-13 20:29:44

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就是各種放縮與配湊

6樓2011-10-13 20:36:53

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lizhmath

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小雨萌萌(金幣+1): 3Q~ 2011-10-14 09:44:21

引用回帖:

6樓: Originally posted by yasima2 at 2011-10-13 20:36:53:
就是各種放縮與配湊

我不知道有沒有你說的方法，好像二項(xiàng)展開不是太麻煩吧。
好像對a_{n+1}/a_n取對數(shù)后，不容易證明>0。
當(dāng)然，可能會有簡單辦法，只是我們沒有發(fā)現(xiàn)。

7樓2011-10-13 21:22:11

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★
小雨萌萌(金幣+2): 3Q~ 2011-10-14 09:44:34
mayz92(金幣+5): 2011-10-14 11:23:24

下面的方法是陳紀(jì)修編著的《數(shù)學(xué)分析》中的：

8樓2011-10-13 21:52:02

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9樓2011-10-15 10:00:13

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我學(xué)的是華東師大的數(shù)分，書上也是ls貼出的過程，我覺得不自然，所以自己試了下（不知道怎么像樓上兩位那樣貼圖出來，所以只能自己在這里敲公式了）：

(1+1/n)^(n+1) - (1+1/ n+1)^(n+1) < (1/n - 1/n+1)*(n+1)*(1+1/n)^n
右式=1/n * (1+1/n)^n，然后移項(xiàng)就可以了。

我也試過，完全類似的方法可以證明(1+1/n+1)^n是遞增的,
(1+1/n)^(n+1)是遞減的。